ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 951 Алимов — Подробные Ответы

Найти на параболе у = х2 точку, ближайшую к точке А (2; 0,5).

Дано:

• Парабола $y = x^2$
• Точка $A(2; 0.5)$

Пусть $a$ и $b$ — абсцисса и ордината искомой точки, тогда:

$$a = x \quad \text{и} \quad b = y(x) = x^2$$

Расстояние между точками:

$$S(x) = \sqrt{(2 — a)^2 + (b — 0.5)^2} = \sqrt{(2 — x)^2 + (x^2 — 0.5)^2}$$ $$S(x) = \sqrt{4 — 4x + x^2 + x^4 — x^2 + 0.25} = \sqrt{x^4 — 4x + 4.25}$$

Производная функции:
Пусть $u = x^4 — 4x + 4.25$, тогда $S(u) = \sqrt{u}$:

$$S'(x) = (x^4 — 4x + 4.25)’ \cdot (\sqrt{u})’$$ $$S'(x) = (4x^3 — 4) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} = 2 \cdot \frac{x^3 — 1}{\sqrt{x^4 — 4x + 4.25}}$$

Промежуток возрастания:

$$x^3 — 1 > 0$$ $$x^3 > 1, \quad \text{откуда } x > 1$$

Искомые значения:

$$a = x = 1 \quad \text{(точка минимума)}$$ $$b = x^2 = 1$$

Ответ: $(1; 1)$.

Дано:

• Парабола: $y = x^2$
• Точка: $A(2;\ 0.5)$

Нужно найти такую точку на параболе $y = x^2$, которая ближе всего к точке $A$. То есть минимизировать расстояние от точки $A$ до точки на параболе.

Шаг 1: Обозначим координаты искомой точки

Пусть искомая точка на параболе имеет координаты $(a,\ b)$. Поскольку она лежит на параболе $y = x^2$, то:

• $a = x$ — переменная (абсцисса точки),
• $b = x^2$ — значение функции при данном $x$.

Значит, координаты искомой точки:

$$(x,\ x^2)$$

Шаг 2: Запишем формулу расстояния между точками

Расстояние $S(x)$ между двумя точками $A(2;\ 0.5)$ и $(x;\ x^2)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

$$S(x) = \sqrt{(x — 2)^2 + (x^2 — 0.5)^2}$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

Первое слагаемое:

$$(x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4$$

Второе слагаемое:

$$(x^2 — 0.5)^2 = x^4 — x^2 + 0.25$$

Теперь сложим:

$$S(x) = \sqrt{x^2 — 4x + 4 + x^4 — x^2 + 0.25}$$

Сократим $+x^2$ и $-x^2$:

$$S(x) = \sqrt{x^4 — 4x + 4.25}$$

Шаг 3: Обозначим подкоренное выражение

Пусть:

$$u(x) = x^4 — 4x + 4.25$$

Тогда:

$$S(x) = \sqrt{u(x)}$$

Шаг 4: Найдём производную расстояния $S(x)$

По правилу производной сложной функции:

$$S'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{u(x)} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$$

Найдём производную $u(x)$:

$$u(x) = x^4 — 4x + 4.25$$ $$u'(x) = 4x^3 — 4$$

Тогда:

$$S'(x) = \frac{4x^3 — 4}{2\sqrt{x^4 — 4x + 4.25}} = 2 \cdot \frac{x^3 — 1}{\sqrt{x^4 — 4x + 4.25}}$$

Шаг 5: Найдём критические точки — приравняем производную к нулю

Производная $S'(x) = 0$ тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

$$x^3 — 1 = 0$$ $$x^3 = 1$$ $$x = 1$$

Шаг 6: Проверим знак производной и найдём минимум

Рассмотрим знак $S'(x)$ на интервалах:

• Для $x < 1$: например, $x = 0$ → $x^3 — 1 = -1 < 0$ → производная отрицательна → функция убывает.
• Для $x > 1$: например, $x = 2$ → $x^3 — 1 = 7 > 0$ → производная положительна → функция возрастает.

Следовательно, при $x = 1$ — точка минимума.

Шаг 7: Найдём координаты точки минимума

Подставим $x = 1$ в уравнение параболы $y = x^2$:

$$y = 1^2 = 1$$

Значит, точка на параболе, ближайшая к $A(2; 0.5)$, имеет координаты:

$$(x;\ x^2) = (1;\ 1)$$

Ответ:

$$\boxed{(1;\ 1)}$$$$