ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 950 Алимов — Подробные Ответы

Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на оси Ох, вторая — на положительной полуоси Оу, третья — в начале координат, а четвёртая — на параболе у = 3 — х2, выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон данного прямоугольника, тогда

$a = x \quad \text{и} \quad b = y(x) = 3 — x^2;$

Площадь прямоугольника:

$S(x) = a \cdot b = x \cdot (3 — x^2) = 3x — x^3;$

Производная функции:

$S'(x) = (3x)’ — (x^3)’ = 3 — 3x^2;$

Промежуток возрастания:

$3 — 3x^2 > 0;$
$3(1 — x^2) > 0;$
$3(1 — x)(1 + x) > 0;$
$-1 < x < 1;$

Искомые значения:

$x = 1 \quad \text{точка максимума};$
$S(1) = 3 \cdot 1 — 1^3 = 3 — 1 = 2;$

Ответ: $2$.

Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника.

Пусть прямоугольник построен так, что одна его сторона — это переменная $a$, а вторая сторона зависит от этой переменной и задаётся функцией $y(x) = 3 — x^2$.

Обозначим:

$$a = x \quad \text{(первая сторона прямоугольника)},$$ $$b = y(x) = 3 — x^2 \quad \text{(вторая сторона прямоугольника)}.$$

Шаг 2: Найдём выражение для площади прямоугольника.

Площадь $S$ прямоугольника равна произведению его сторон:

$$S(x) = a \cdot b = x \cdot (3 — x^2).$$

Раскроем скобки:

$$S(x) = 3x — x^3.$$

Шаг 3: Найдём производную функции площади.

Для нахождения экстремума функции (максимума или минимума), нужно найти производную и приравнять её к нулю.

Функция:

$$S(x) = 3x — x^3.$$

Найдём её производную:

$$S'(x) = \frac{d}{dx}(3x) — \frac{d}{dx}(x^3).$$

Применим правила дифференцирования:

• Производная от $3x$ равна $3$,
• Производная от $x^3$ равна $3x^2$.

Тогда:

$$S'(x) = 3 — 3x^2.$$

Шаг 4: Найдём промежутки возрастания и убывания.

Рассмотрим знак производной, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает.

Неравенство:

$$S'(x) = 3 — 3x^2 > 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$3(1 — x^2) > 0.$$

Разложим на множители:

$$3(1 — x)(1 + x) > 0.$$

Такое неравенство означает, что произведение двух множителей положительно. Произведение двух чисел положительно, когда оба положительны или оба отрицательны.

Исследуем знак выражения $(1 — x)(1 + x)$. Это стандартное квадратное неравенство. Решим его с помощью числовой прямой.

Нули выражения: $x = -1$ и $x = 1$. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

1. $x < -1$: например, $x = -2$ → $(1 — (-2))(1 + (-2)) = 3 \cdot (-1) = -3$ — отрицательно.
2. $-1 < x < 1$: например, $x = 0$ → $(1 — 0)(1 + 0) = 1 \cdot 1 = 1$ — положительно.
3. $x > 1$: например, $x = 2$ → $(1 — 2)(1 + 2) = (-1) \cdot 3 = -3$ — отрицательно.

Следовательно, неравенство выполняется только в промежутке:

$$-1 < x < 1.$$

Шаг 5: Найдём точку максимума.

Так как функция возрастает при $-1 < x < 1$ и убывает при $x > 1$ и $x < -1$, максимум достигается в крайней правой точке интервала возрастания, то есть в точке $x = 1$.

Подставим это значение в исходную функцию площади:

$$S(1) = 3 \cdot 1 — 1^3 = 3 — 1 = 2.$$

Шаг 6: Убедимся, что это максимум.

Проверим знак производной до и после точки $x = 1$:

• При $x = 0.9$: $S'(x) = 3 — 3(0.9)^2 = 3 — 3(0.81) = 3 — 2.43 = 0.57 > 0$ — функция возрастает.
• При $x = 1.1$: $S'(x) = 3 — 3(1.1)^2 = 3 — 3(1.21) = 3 — 3.63 = -0.63 < 0$ — функция убывает.

Таким образом, в точке $x = 1$ функция достигает максимального значения.

Ответ:

$$\boxed{2}$$