ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 95 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. корень 3 степени 5^3*7^3, корень 4 степени 324 * корень 4 степени 4, корень 4 степени 15*5/8 :корень 4 степени 2/5;
2. 56^0: 8^-2, 16^1/4 *25^1/2, (1/15)^-1 : 9^1/2, 8^1/(1/2)4: 16^-1;
3. 5^1/4*5^-1/4/5^2, 7^7/3*7^-4/3/7^2, 0,3^0,3*0,3^-1/0,3^1,3

1.$$\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{7^3} = 5 \cdot 7 = 35;$$

$$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{81 \cdot 4} = \sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2^4} = 3 \cdot 2 = 6;$$

$$\sqrt[4]{15 \frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{15 \cdot 8 + 5}{8}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{5^3 \cdot 5}{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{5^4}{2^4}} = \frac{5}{2} = 2,5;$$

2.$$56^0 : 8^{-2} = 1 : \left( \frac{1}{8} \right)^2 = 1 \cdot 8^2 = 64;$$

$$16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 5 = 10;$$

$$\left( \frac{1}{15} \right)^{-1} : 9^{\frac{1}{2}} = 15 : (3^2)^{\frac{1}{2}} = 15 : 3 = 5;$$

$$8^{\frac{1}{3}} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 : 16^{-1} = (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2^4} : \frac{1}{16} = 2 \cdot \frac{1}{16} \cdot 16 = 2;$$

3.$$\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{1}{4}}}{5^2} = 5^{\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4}) — 2} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25};$$

$$\frac{7^{\frac{7}{3}} \cdot 7^{-\frac{4}{3}}}{7^2} = 7^{\frac{7}{3} + (-\frac{4}{3}) — 2} = 7^{\frac{3}{3} — 2} = 7^{1 — 2} = 7^{-1} = \frac{1}{7};$$

$$\frac{0,3^{0,3} \cdot 0,3^{-1}}{0,3^{1,3}} = 0,3^{0,3 + (-1) — 1,3} = 0,3^{-2} = \left( \frac{3}{10} \right)^{-2} = \left( \frac{10}{3} \right)^2 = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9};$$

Часть 1:

1). $\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3}$

Используем свойство корней:

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Здесь $n = 3$

$$\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{7^3}$$

Теперь извлекаем кубический корень из каждого множителя:

$$\sqrt[3]{5^3} = 5, \quad \sqrt[3]{7^3} = 7$$

И перемножаем полученные значения:

$$5 \cdot 7 = 35$$

Ответ: $35$

2). $\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$

Используем свойство корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. Здесь $n = 4$

$$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4}$$

Сначала находим произведение под корнем:

$$324 \cdot 4 = 1296$$

Теперь извлекаем четвертый корень из 1296. Можно разложить 1296 на простые множители:

$$1296 = 81 \cdot 16 = 3^4 \cdot 2^4$$

Теперь извлекаем четвертый корень:

$$\sqrt[4]{3^4 \cdot 2^4} = 3 \cdot 2 = 6$$

Ответ: $6$

3). $\sqrt[4]{15 \frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$

Первое, что нужно сделать, — это преобразовать смешанное число $15 \frac{5}{8}$ в неправильную дробь:

$$15 \frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{125}{8}$$

Теперь вычислим выражение:

$$\sqrt[4]{\frac{125}{8}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{125 \cdot 5}{8 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}}$$

Теперь раскладываем 625 и 16 на простые множители:

$$625 = 5^4, \quad 16 = 2^4$$

Извлекаем четвертый корень:

$$\sqrt[4]{\frac{5^4}{2^4}} = \frac{5}{2} = 2,5$$

Ответ: $2,5$

Часть 2:

1). $56^0 : 8^{-2}$

Используем правило для степени 0:

$a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$, и правило для отрицательной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$$56^0 = 1, \quad 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$$

Теперь делим 1 на $\frac{1}{64}$, что эквивалентно умножению на 64:

$$1 : \frac{1}{64} = 1 \cdot 64 = 64$$

Ответ: $64$

2). $16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}$

Применяем свойства степеней:

$$16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2, \quad 25^{\frac{1}{2}} = (5^2)^{\frac{1}{2}} = 5$$

Теперь перемножаем:

$$2 \cdot 5 = 10$$

Ответ: $10$

3). $\left( \frac{1}{15} \right)^{-1} : 9^{\frac{1}{2}}$

Используем правило для отрицательной степени:

$$\left( \frac{1}{15} \right)^{-1} = 15, \quad 9^{\frac{1}{2}} = (3^2)^{\frac{1}{2}} = 3$$

Теперь делим:

$$15 : 3 = 5$$

Ответ: $5$

4). $8^{\frac{1}{3}} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 : 16^{-1}$

Используем свойства степеней:

$$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2, \quad \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}, \quad 16^{-1} = \frac{1}{16}$$

Теперь подставляем:

$$2 \cdot \frac{1}{16} : \frac{1}{16} = 2 \cdot \frac{1}{16} \cdot 16 = 2$$

Ответ: $2$

Часть 3:

1). $\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{1}{4}}}{5^2}$

Используем правило для степеней с одинаковым основанием:

$$5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4})} = 5^0 = 1$$

Теперь делим:

$$\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$

Ответ: $\frac{1}{25}$

2). $\frac{7^{\frac{7}{3}} \cdot 7^{-\frac{4}{3}}}{7^2}$

Применяем правило для степеней с одинаковым основанием:

$$7^{\frac{7}{3}} \cdot 7^{-\frac{4}{3}} = 7^{\frac{7}{3} + (-\frac{4}{3})} = 7^{\frac{3}{3}} = 7$$

Теперь делим:

$$\frac{7}{7^2} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$$

Ответ: $\frac{1}{7}$

3). $\frac{0,3^{0,3} \cdot 0,3^{-1}}{0,3^{1,3}}$

Используем правило для степеней с одинаковым основанием:

$$0,3^{0,3} \cdot 0,3^{-1} = 0,3^{0,3 + (-1)} = 0,3^{-0,7}$$

Теперь делим:

$$\frac{0,3^{-0,7}}{0,3^{1,3}} = 0,3^{-0,7 — 1,3} = 0,3^{-2}$$

Извлекаем степень:

$$0,3^{-2} = \left( \frac{3}{10} \right)^{-2} = \left( \frac{10}{3} \right)^2 = \frac{100}{9}$$

Превращаем в смешанное число:

$$\frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$$

Ответ: $11 \frac{1}{9}$