ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 948 Алимов — Подробные Ответы

Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?

Высота коробки равна стороне отрезаемого квадрата, значит:

$$V(x) = S_{\text{осн}} \cdot h;$$ $$V(x) = (a — 2x)^2 \cdot x;$$ $$V(x) = (a^2 — 4ax + 4x^2) \cdot x;$$ $$V(x) = a^2 \cdot x — 4ax^2 + 4x^3;$$

Производная функции:

$$V'(x) = a^2 \cdot (x)’ — 4a \cdot (x^2)’ + 4 \cdot (x^3)’;$$ $$V'(x) = a^2 — 4a \cdot 2x + 4 \cdot 3x^2;$$ $$V'(x) = 12x^2 — 8ax + a^2;$$

Промежуток возрастания:

$$12x^2 — 8ax + a^2 = 0;$$ $$D = (8a)^2 — 4 \cdot 12 \cdot a^2 = 64a^2 — 48a^2 = 16a^2, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{8a — 4a}{2 \cdot 12} = \frac{4a}{24} = \frac{a}{6} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8a + 4a}{2 \cdot 12} = \frac{12a}{24} = \frac{a}{2};$$ $$\left( x — \frac{a}{6} \right) \left( x — \frac{a}{2} \right) > 0;$$ $$x < \frac{a}{6} \quad \text{или} \quad x > \frac{a}{2};$$

Искомое значение:

$$x = \frac{a}{6} — \text{точка максимума};$$

Ответ: $\boxed{\frac{a}{6}}$.

Шаг 1. Выразим объём через переменную $x$

После отрезания квадратов по углам:

• Высота коробки = $x$ (это вырезанный квадрат, который поднимается);
• Размер основания = $a — 2x$ (уменьшается с двух сторон);
• Площадь основания = $(a — 2x)^2$.

Формула объёма:

$$V(x) = \text{Площадь основания} \cdot \text{Высота} = (a — 2x)^2 \cdot x$$

Шаг 2. Раскроем скобки в выражении $V(x)$

Воспользуемся формулой квадрата разности:

$$(a — 2x)^2 = a^2 — 4ax + 4x^2$$

Умножаем это на $x$:

$$V(x) = (a^2 — 4ax + 4x^2) \cdot x = a^2x — 4ax^2 + 4x^3$$

Шаг 3. Найдём производную функции объёма

Нам нужно найти критические точки, поэтому дифференцируем:

$$V(x) = a^2x — 4ax^2 + 4x^3$$

Применяем правила дифференцирования:

• $(a^2x)’ = a^2$
• $(-4ax^2)’ = -8ax$
• $(4x^3)’ = 12x^2$

Итак:

$$V'(x) = a^2 — 8ax + 12x^2$$

Шаг 4. Исследуем производную: найдём точки экстремума

Найдём корни производной:

$$V'(x) = 12x^2 — 8ax + a^2 = 0$$

Решим квадратное уравнение.

Дискриминант:

$$D = (-8a)^2 — 4 \cdot 12 \cdot a^2 = 64a^2 — 48a^2 = 16a^2$$

Корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{8a \pm \sqrt{16a^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8a \pm 4a}{24}$$ $$x_1 = \frac{8a — 4a}{24} = \frac{4a}{24} = \frac{a}{6}, \quad x_2 = \frac{8a + 4a}{24} = \frac{12a}{24} = \frac{a}{2}$$

Шаг 5. Исследуем знак производной

Производная:

$$V'(x) = 12x^2 — 8ax + a^2 = 12(x — \frac{a}{6})(x — \frac{a}{2})$$

Исследуем знак по промежуткам:

• На интервале $x < \frac{a}{6}$: оба множителя отрицательные → произведение положительное → возрастает.
• На интервале $\frac{a}{6} < x < \frac{a}{2}$: один множитель отрицателен, другой положителен → производная отрицательна → убывает.
• На интервале $x > \frac{a}{2}$: оба положительные → производная снова положительная → возрастает.

Такой случай говорит о локальном максимуме в точке:

$$x = \frac{a}{6}$$

Шаг 6. Проверим, удовлетворяет ли $x = \frac{a}{6}$ ограничениям

Коробка имеет смысл, если:

• $x > 0$
• $a — 2x > 0 \Rightarrow x < \frac{a}{2}$

Мы получили $x = \frac{a}{6}$, что:

• Положительно;
• Меньше $\frac{a}{2}$

Значит, значение допустимо.

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{a}{6}}}\text{— значение, при котором объём коробки максимален.}$$