ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 947 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее значение функции:

1. x корень 4 степени (5-х) на интервале (0; 5);
2. х корень 3 степени (4-x) на интервале (0; 4);
3. корень 3 степени (x2(1-х)) на интервале (0; 1);
4. корень 3 степени (х2 -4х + 6)^-1 на интервале (-1; 5).

1) $f(x) = x \cdot \sqrt[4]{5-x}$ на интервале $(0; 5)$

Производная:

$$f'(x) = (x)’ \cdot \sqrt[4]{5-x} + x \cdot (\sqrt[4]{5-x})’$$ $$f'(x) = 1 \cdot \sqrt[4]{5-x} + x \cdot \frac{1}{4} \cdot (5-x)^{-\frac{3}{4}} \cdot (-1)$$ $$f'(x) = \sqrt[4]{5-x} — \frac{x}{4 \sqrt[4]{(5-x)^3}}$$ $$f'(x) = \frac{4(5-x) — x}{4 \sqrt[4]{(5-x)^3}} = \frac{20 — 4x — x}{4 \sqrt[4]{(5-x)^3}} = \frac{20 — 5x}{4 \sqrt[4]{(5-x)^3}}$$

Промежуток возрастания:

$$20 — 5x > 0$$ $$5x < 20 \quad \Rightarrow \quad x < 4$$

Значения функции:

$$f(4) = 4 \cdot \sqrt[4]{5-4} = 4 \cdot \sqrt[4]{1} = 4$$

Ответ:

$$y_{\text{max}} = 4$$

2) $f(x) = x \cdot \sqrt[3]{4-x}$ на интервале $(0; 4)$

Производная:

$$f'(x) = (x)’ \cdot \sqrt[3]{4-x} + x \cdot (\sqrt[3]{4-x})’$$ $$f'(x) = 1 \cdot \sqrt[3]{4-x} + x \cdot \frac{1}{3} \cdot (4-x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-1)$$ $$f'(x) = \sqrt[3]{4-x} — \frac{x}{3 \sqrt[3]{(4-x)^2}}$$ $$f'(x) = \frac{3(4-x) — x}{3 \sqrt[3]{(4-x)^2}} = \frac{12 — 3x — x}{3 \sqrt[3]{(4-x)^2}} = \frac{12 — 4x}{3 \sqrt[3]{(4-x)^2}}$$

Промежуток возрастания:

$$12 — 4x > 0$$ $$4 \cdot (3 — x) > 0$$ $$3 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 3$$

Значения функции:

$$f(3) = 3 \cdot \sqrt[3]{4-3} = 3 \cdot \sqrt[3]{1} = 3$$

Ответ:

$$y_{\text{max}} = 3$$

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 \cdot (1-x)}$ на интервале $(0; 1)$

Пусть $u = x^2 — x^3$, тогда $f(u) = u^{\frac{1}{3}}$:

$$f'(x) = (x^2 — x^3)’ \cdot \left( u^{\frac{1}{3}} \right)’$$ $$f'(x) = (2x — 3x^2) \cdot \frac{1}{3} \cdot u^{-\frac{2}{3}}$$ $$f'(x) = (2x — 3x^2) \cdot \frac{1}{3} \cdot (x^2 — x^3)^{-\frac{2}{3}}$$ $$f'(x) = \frac{2x — 3x^2}{3 \sqrt[3]{(x^2 — x^3)^2}}$$

Промежуток возрастания:

$$2x — 3x^2 > 0$$ $$x \cdot (2 — 3x) > 0$$ $$x \cdot (3x — 2) < 0 \quad \Rightarrow \quad 0 < x < \frac{2}{3}$$

Значения функции:

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right)} = \sqrt[3]{\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{4}{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$$

Ответ:

$$y_{\text{max}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$$

4) $f(x) = \sqrt[3]{(x^2 — 4x + 5)^{-1}}$ на интервале $(-1; 5)$

Пусть $u = x^2 — 4x + 5$, тогда $f(u) = u^{-\frac{1}{3}}$:

$$f'(x) = (x^2 — 4x + 5)’ \cdot \left( u^{-\frac{1}{3}} \right)’$$ $$f'(x) = (2x — 4) \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot u^{-\frac{4}{3}}$$ $$f'(x) = -\frac{2x — 4}{3 \sqrt[3]{(x^2 — 4x + 5)^4}}$$

Промежуток возрастания:

$$-(2x — 4) > 0$$ $$2x — 4 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < 2$$

Значения функции:

$$f(2) = \sqrt[3]{(2^2 — 4 \cdot 2 + 5)^{-1}} = \sqrt[3]{(4 — 8 + 5)^{-1}} = \sqrt[3]{1^{-1}} = \sqrt[3]{1} = 1$$

Ответ:

$$y_{\text{max}} = 1$$

1) $f(x) = x \cdot \sqrt[4]{5 — x}$, область: $(0; 5)$

Шаг 1. Представим в виде степени

$$f(x) = x \cdot (5 — x)^{1/4}$$

Шаг 2. Найдём производную (по правилу произведения)

$$f'(x) = (x)’ \cdot (5 — x)^{1/4} + x \cdot \left( (5 — x)^{1/4} \right)’$$

Вторая производная — по правилу цепочки:

$$\frac{d}{dx}[(5 — x)^{1/4}] = \frac{1}{4}(5 — x)^{-3/4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}(5 — x)^{-3/4}$$

Итак:

$$f'(x) = (5 — x)^{1/4} — \frac{x}{4}(5 — x)^{-3/4}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$f'(x) = \frac{4(5 — x) — x}{4(5 — x)^{3/4}} = \frac{20 — 5x}{4(5 — x)^{3/4}}$$

Шаг 3. Исследуем знак производной

Производная положительна, когда числитель положителен:

$$20 — 5x > 0 \Rightarrow x < 4$$

То есть:

• Возрастает при $x < 4$
• Убывает при $x > 4$

Шаг 4. Точка максимума — $x = 4$

$$f(4) = 4 \cdot (5 — 4)^{1/4} = 4 \cdot 1 = 4$$

Ответ:

$$\boxed{y_{\max} = 4}$$

2) $f(x) = x \cdot \sqrt[3]{4 — x}$, область: $(0; 4)$

Шаг 1. Представим в виде степени

$$f(x) = x \cdot (4 — x)^{1/3}$$

Шаг 2. Найдём производную (по правилу произведения)

$$f'(x) = 1 \cdot (4 — x)^{1/3} + x \cdot \left( \frac{1}{3}(4 — x)^{-2/3} \cdot (-1) \right)$$ $$f'(x) = (4 — x)^{1/3} — \frac{x}{3}(4 — x)^{-2/3}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$f'(x) = \frac{3(4 — x) — x}{3(4 — x)^{2/3}} = \frac{12 — 4x}{3(4 — x)^{2/3}}$$

Шаг 3. Исследуем знак производной

Числитель: $12 — 4x > 0 \Rightarrow x < 3$

• Функция возрастает при $x < 3$, убывает при $x > 3$

Шаг 4. Точка максимума — $x = 3$

$$f(3) = 3 \cdot (4 — 3)^{1/3} = 3 \cdot 1 = 3$$

Ответ:

$$\boxed{y_{\max} = 3}$$

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2(1 — x)}$, область: $(0; 1)$

Шаг 1. Упростим выражение

$$f(x) = (x^2(1 — x))^{1/3} = \left(x^2 — x^3\right)^{1/3}$$

Пусть $u = x^2 — x^3$, тогда $f(x) = u^{1/3}$

Шаг 2. Производная (по правилу цепочки)

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(u^{1/3}) = \frac{1}{3}u^{-2/3} \cdot u’$$

Вычислим $u’ = (x^2 — x^3)’ = 2x — 3x^2$

Подставим:

$$f'(x) = \frac{2x — 3x^2}{3(x^2 — x^3)^{2/3}}$$

Шаг 3. Найдём знак производной

Числитель:

$$2x — 3x^2 = x(2 — 3x) \Rightarrow \text{Знак положителен при } 0 < x < \frac{2}{3}$$

Шаг 4. Точка максимума — $x = \frac{2}{3}$

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right)} = \sqrt[3]{\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{4}{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{y_{\max} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}}$$

4) $f(x) = \sqrt[3]{(x^2 — 4x + 5)^{-1}}$, область: $(-1; 5)$

Шаг 1. Представим в виде степени

$$f(x) = (x^2 — 4x + 5)^{-1/3}$$

Пусть $u = x^2 — 4x + 5$, тогда:

$$f(x) = u^{-1/3}$$

Шаг 2. Производная (по правилу цепочки)

$$f'(x) = -\frac{1}{3}u^{-4/3} \cdot (2x — 4)$$ $$f'(x) = -\frac{2x — 4}{3(x^2 — 4x + 5)^{4/3}}$$

Шаг 3. Найдём знак производной

Числитель: $— (2x — 4) > 0 \Rightarrow 2x — 4 < 0 \Rightarrow x < 2$

Шаг 4. Точка максимума — $x = 2$

$$f(2) = \sqrt[3]{(4 — 8 + 5)^{-1}} = \sqrt[3]{1^{-1}} = \sqrt[3]{1} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{y_{\max} = 1}$$