ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 941 Алимов — Подробные Ответы

Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть $x$ и $y$ — данные положительные числа, тогда:
$x \cdot y = 625$, отсюда $y = \frac{625}{x}$;
$f(x) = x^2 + y^2 = x^2 + \frac{625^2}{x^2}$;

Производная функции:
$f'(x) = (x^2)’ + 625^2 \cdot (x^{-2})’$;
$f'(x) = 2x + 625^2 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = 2 \cdot \left( x — \frac{625^2}{x^3} \right)$;

Промежуток возрастания:
$x — \frac{625^2}{x^3} > 0$;
$x^5 — 625^2 \cdot x > 0$;
$x \cdot (x^4 — 625^2) > 0$;
$x \cdot (x^2 — 625) \cdot (x^2 + 625) > 0$;
$(x + 25) \cdot x \cdot (x — 25) > 0$;
$-25 < x < 0$ или $x > 25$;

Искомые числа:
$x = 25$ — точка минимума;
$y = \frac{625}{25} = 25$;

Ответ: $25 \cdot 25$.

Пусть $x$ и $y$ — данные положительные числа, такие что $x \cdot y = 625$. Требуется найти точку минимума функции $f(x) = x^2 + y^2$ и соответствующие значения $x$ и $y$.

Шаг 1. Исходные данные и выражение для $y$

У нас есть условие, что $x \cdot y = 625$. Из этого можно выразить $y$ через $x$:

$$y = \frac{625}{x}$$

Теперь подставим это выражение в функцию $f(x)$, которая равна $x^2 + y^2$. Подставим значение $y$:

$$f(x) = x^2 + \left( \frac{625}{x} \right)^2 = x^2 + \frac{625^2}{x^2}$$

Шаг 2. Находим производную функции $f(x)$

Чтобы найти точку минимума, необходимо вычислить производную функции $f(x)$ и найти критические точки (где производная равна нулю). Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

1. Производная от $x^2$ по $x$ равна $2x$.
2. Производная от $\frac{625^2}{x^2}$ по $x$ — это производная функции вида $\frac{A}{x^2}$, где $A = 625^2$. Используя правило дифференцирования степени $x^{-2}$, получаем, что производная от $625^2 \cdot x^{-2}$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( 625^2 \cdot x^{-2} \right) = 625^2 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -2 \cdot 625^2 \cdot x^{-3}$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 2x — 2 \cdot 625^2 \cdot x^{-3}$$

Шаг 3. Находим критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x — 2 \cdot 625^2 \cdot x^{-3} = 0$$

Упростим это выражение:

$$2x = 2 \cdot 625^2 \cdot x^{-3}$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = 625^2 \cdot x^{-3}$$

Теперь умножим обе стороны на $x^3$ (при $x \neq 0$):

$$x^4 = 625^2$$

Вынесем квадрат из правой части:

$$x^4 = (625)^2$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$x^2 = 625$$

И, наконец, извлекаем корень из обеих сторон:

$$x = 25 \quad \text{или} \quad x = -25$$

Так как $x$ — положительное число, то $x = 25$.

Шаг 4. Проверка второго порядка

Чтобы убедиться, что $x = 25$ — это точка минимума, проверим вторую производную $f»(x)$. Для этого найдем производную от $f'(x)$.

1. Производная от $2x$ равна $2$.
2. Производная от $-2 \cdot 625^2 \cdot x^{-3}$ будет:

$$\frac{d}{dx} \left( -2 \cdot 625^2 \cdot x^{-3} \right) = 6 \cdot 625^2 \cdot x^{-4}$$

Таким образом, вторая производная $f»(x)$ равна:

$$f»(x) = 2 + 6 \cdot 625^2 \cdot x^{-4}$$

Подставляем $x = 25$:

$$f»(25) = 2 + 6 \cdot 625^2 \cdot 25^{-4} = 2 + 6 \cdot 625^2 \cdot \frac{1}{625^2} = 2 + 6 = 8$$

Так как $f»(25) > 0$, точка $x = 25$ является точкой минимума.

Шаг 5. Найдем значение $y$

Теперь, когда мы нашли $x = 25$, можем найти $y$, используя выражение $y = \frac{625}{x}$:

$$y = \frac{625}{25} = 25$$

Шаг 6. Ответ

Таким образом, искомые числа $x$ и $y$ равны 25.

Ответ:

$$25 \cdot 25 = 625$$