ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 939 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:

1. f(x) = x2 + 16/x2 на промежутке (0;+бесконечность);
2. f(x) = 2/x — x2 на промежутке (-бесконечность;0).

1) $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

$f'(x) = (x^2)’ + 16 \cdot (x^{-2})’$;

$f'(x) = 2x + 16 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = 2x — \frac{32}{x^3}$;

Промежуток возрастания:

$2x — \frac{32}{x^3} > 0;$

$2x^5 — 32x > 0;$

$2x \cdot (x^4 — 16) > 0;$

$2x \cdot (x^2 — 4) \cdot (x^2 + 4) > 0;$

$(x + 2) \cdot 2x \cdot (x — 2) > 0;$

$-2 < x < 0 \text{ или } x > 2$

Значения функции:

$y(\pm 2) = (\pm 2)^2 + \frac{16}{(\pm 2)^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8;$

Ответ: $y_{\text{min}} = 8$; $y_{\text{max}}$ — не существует.

2) $f(x) = \frac{2}{x} — x^2$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

$f'(x) = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ — (x^2)’ = -\frac{2}{x^2} — 2x$;

Промежуток возрастания:

$-\frac{2}{x^2} — 2x > 0;$

$-2 \cdot \left( \frac{1}{x^2} + x \right) > 0;$

$\frac{1}{x^2} + x < 0;$

$1 + x^3 < 0;$

$x^3 < -1, \text{ отсюда } x < -1;$

Значения функции:

$y(-1) = \frac{2}{-1} — (-1)^2 = -2 — 1 = -3;$

Ответ: $y_{\text{max}} = -3$; $y_{\text{min}}$ — не существует.

1) $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для нахождения экстремумов функции используем производную. Напоминаю, что для дифференцирования использованы следующие правила:

• Производная от $x^n$ (где $n$ — константа) равна $n \cdot x^{n-1}$,
• Производная от $x^{-n}$ равна $-n \cdot x^{-n-1}$.

Итак, находим производную функции $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$:

Производная от $x^2$:

$$(x^2)’ = 2x$$

Производная от $\frac{16}{x^2} = 16x^{-2}$:

$$\left( 16x^{-2} \right)’ = 16 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -\frac{32}{x^3}$$

Теперь соберем все части:

$$f'(x) = 2x — \frac{32}{x^3}$$

Ответ:

$$f'(x) = 2x — \frac{32}{x^3}$$

Шаг 2: Нахождение промежутков возрастания

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно решить неравенство, при котором производная больше нуля:

$$f'(x) = 2x — \frac{32}{x^3} > 0$$

Для удобства избавляемся от дроби, умножив обе части неравенства на $x^3$ (так как $x > 0$, знак неравенства не изменится):

$$2x^4 — 32 > 0$$

Добавляем 32 к обеим частям:

$$2x^4 > 32$$

Делим обе части на 2:

$$x^4 > 16$$

Теперь извлекаем корень четвертой степени:

$$x > 2$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

Ответ:
Промежуток возрастания: $(2; +\infty)$.

Шаг 3: Нахождение значений функции

Теперь подставим значения $x = \pm 2$ в исходную функцию $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ и вычислим:

Для $x = 2$:

$$f(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8$$

Для $x = -2$ (так как функция симметрична относительно оси $y$, значение будет таким же):

$$f(-2) = (-2)^2 + \frac{16}{(-2)^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8$$

Ответ:
Значения функции:
$f(2) = 8$, $f(-2) = 8$

Шаг 4: Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Из вышеизложенного:

• Значения функции на отрезке $(0; +\infty)$ стремятся к бесконечности, что означает, что наибольшего значения функции на этом промежутке не существует.
• Минимальное значение функции на отрезке $(0; +\infty)$ достигается в точке $x = 2$, где $f(2) = 8$.

Ответ:
$y_{\text{min}} = 8$; $y_{\text{max}}$ — не существует.

2) $f(x) = \frac{2}{x} — x^2$ на промежутке $(-\infty; 0)$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = \frac{2}{x} — x^2$.

Производная от $\frac{2}{x} = 2x^{-1}$:

$$\left( 2x^{-1} \right)’ = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$$

Производная от $-x^2$:

$$(-x^2)’ = -2x$$

Теперь, собрав все части:

$$f'(x) = -\frac{2}{x^2} — 2x$$

Ответ:

$$f'(x) = -\frac{2}{x^2} — 2x$$

Шаг 2: Нахождение промежутков возрастания

Чтобы найти промежутки возрастания функции, решим неравенство $f'(x) > 0$:

$$-\frac{2}{x^2} — 2x > 0$$

Переносим $-2x$ в правую часть:

$$-\frac{2}{x^2} > 2x$$

Умножим обе части на $-1$ (при этом знак неравенства меняется):

$$\frac{2}{x^2} < -2x$$

Делим обе части на 2:

$$\frac{1}{x^2} < -x$$

Теперь умножим обе части на $x^2$ (положительное число):

$$1 < -x^3$$

Решим неравенство для $x$:

$$x^3 < -1, \text{ отсюда } x < -1$$

Ответ:
Промежуток возрастания: $(-\infty; -1)$

Шаг 3: Нахождение значений функции

Для $x = -1$:

$$f(-1) = \frac{2}{-1} — (-1)^2 = -2 — 1 = -3$$

Для $x = -2$:

$$f(-2) = \frac{2}{-2} — (-2)^2 = -1 — 4 = -5$$

Для $x = -0.5$:

$$f(-0.5) = \frac{2}{-0.5} — (-0.5)^2 = -4 — 0.25 = -4.25$$

Ответ:
Значения функции:
$f(-1) = -3$, $f(-2) = -5$, $f(-0.5) = -4.25$

Шаг 4: Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Из полученных значений:

• Наибольшее значение функции на отрезке $(-\infty; 0)$ достигается в точке $x = -1$, где $f(-1) = -3$.
• Наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в точке $x = -2$, где $f(-2) = -5$.

Ответ:
$y_{\text{max}} = -3$; $y_{\text{min}}$ — не существует.