ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 938 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. f (x) = х4 — 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2];
2. f(x) = x + 1/x на отрезке [-2;-0,5];
3. f (x) = sin х + cos х на отрезке [пи;3пи/2].

1) $f(x) = x^4 — 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2]$;

$f'(x) = (x^4)’ — 8(x^2)’ + (5)’ = 4x^3 — 8 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 16x$;

Точки экстремума:

$$4x^3 — 16x = 0;$$ $$4x \cdot (x^2 — 4) = 0;$$ $$(x + 2) \cdot 4x \cdot (x — 2) = 0;$$ $$x_1 = -2, \, x_2 = 0 \text{ и } x_3 = 2;$$

Значения функции:

$$f(-3) = (-3)^4 — 8 \cdot (-3)^2 + 5 = 81 — 72 + 5 = 14;$$ $$f(\pm 2) = (\pm 2)^4 — 8 \cdot (\pm 2)^2 + 5 = 16 — 32 + 5 = -11;$$ $$f(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^2 + 5 = 5;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -11$; $y_{\text{max}} = 14$.

2) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ на отрезке $[-2; -0,5]$;

$f'(x) = (x)’ + \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{1}{x^2}$;

Точки экстремума:

$$1 — \frac{1}{x^2} = 0;$$ $$x^2 — 1 = 0;$$ $$x^2 = 1, \text{отсюда } x = \pm 1;$$

Значения функции:

$$y(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2 — 0.5 = -2.5;$$ $$y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2;$$ $$y(-0.5) = -0.5 + \frac{1}{-0.5} = -0.5 — 2 = -2.5;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -2.5$; $y_{\text{max}} = -2$.

3) $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[ \pi; \frac{3\pi}{2} ]$;

$f'(x) = (\sin x)’ + (\cos x)’ = \cos x — \sin x$;

Точки экстремума:

$$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$1 — \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = 1;$$ $$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Значения функции:

$$y(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 — 1 = -1;$$ $$y\left( \frac{5\pi}{4} \right) = \sin \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2};$$ $$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -\sqrt{2}$; $y_{\text{max}} = -1$.

1) $f(x) = x^4 — 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2]$

Для начала найдем производную функции $f(x) = x^4 — 8x^2 + 5$. Мы будем использовать стандартные правила дифференцирования.

Шаг 1.1: Нахождение производной

Мы применяем правило дифференцирования для степеней и констант:

• Производная от $x^n$ (где $n$ — степень) равна $n \cdot x^{n-1}$,
• Производная от константы $c$ равна 0.

Дифференцируем каждый член функции $f(x) = x^4 — 8x^2 + 5$:

• Производная от $x^4$:

$$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$$

• Производная от $-8x^2$:

$$\frac{d}{dx}(-8x^2) = -8 \cdot 2x = -16x$$

• Производная от константы $5$:

$$\frac{d}{dx}(5) = 0$$

Теперь собираем все части:

$$f'(x) = 4x^3 — 16x$$

Ответ:

$$f'(x) = 4x^3 — 16x$$

Шаг 1.2: Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума функции, приравниваем производную $f'(x)$ к нулю. Экстремумы находятся в тех точках, где производная равна нулю или не существует. Решаем уравнение:

$$4x^3 — 16x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$4x(x^2 — 4) = 0$$

Теперь раскладываем:

$$4x(x — 2)(x + 2) = 0$$

Решения:

$$x_1 = 0, \, x_2 = 2, \, x_3 = -2$$

Это точки экстремума.

Ответ:
Точки экстремума: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$

Шаг 1.3: Нахождение значений функции в точках экстремума

Теперь подставим значения $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, и $x_3 = -2$ в исходную функцию $f(x) = x^4 — 8x^2 + 5$, чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = -3$:

$$f(-3) = (-3)^4 — 8(-3)^2 + 5 = 81 — 72 + 5 = 14$$

Для $x = -2$:

$$f(-2) = (-2)^4 — 8(-2)^2 + 5 = 16 — 32 + 5 = -11$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = 2^4 — 8 \cdot 2^2 + 5 = 16 — 32 + 5 = -11$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^2 + 5 = 5$$

Ответ:

• $f(-3) = 14$
• $f(-2) = -11$
• $f(2) = -11$
• $f(0) = 5$

Шаг 1.4: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке $[-3; 2]$

Теперь, имея значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, можно найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 2]$.

• Значение функции на $x = -3$: $f(-3) = 14$
• Значение функции на $x = -2$: $f(-2) = -11$
• Значение функции на $x = 2$: $f(2) = -11$
• Значение функции на $x = 0$: $f(0) = 5$

Из этих значений:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = -11$
• Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 14$

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -11$
• $y_{\text{max}} = 14$

2) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ на отрезке $[-2; -0,5]$

Для этой функции найдем её производную и исследуем точки экстремума.

Шаг 2.1: Нахождение производной функции

Функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$. Для её производной используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x$ равна 1,
• Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$.

Таким образом, производная:

$$f'(x) = 1 — \frac{1}{x^2}$$

Ответ:

$$f'(x) = 1 — \frac{1}{x^2}$$

Шаг 2.2: Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции находятся, когда её производная равна нулю:

$$1 — \frac{1}{x^2} = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{1}{x^2} = 1$$ $$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Так как рассматриваем отрезок $[-2; -0.5]$, на котором $x = -1$ является действительным решением, это и есть точка экстремума.

Ответ:
Точка экстремума: $x = -1$

Шаг 2.3: Нахождение значений функции в точках экстремума

Для $x = -2$:

$$f(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2 — 0.5 = -2.5$$

Для $x = -1$:

$$f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2$$

Для $x = -0.5$:

$$f(-0.5) = -0.5 + \frac{1}{-0.5} = -0.5 — 2 = -2.5$$

Ответ:

• $f(-2) = -2.5$
• $f(-1) = -2$
• $f(-0.5) = -2.5$

Шаг 2.4: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке $[-2; -0.5]$

Из значений функции:

• Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -2.5$
• Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = -2$

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -2.5$
• $y_{\text{max}} = -2$

3) $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[ \pi; \frac{3\pi}{2} ]$

Для этой функции найдем её производную и исследуем точки экстремума.

Шаг 3.1: Нахождение производной функции

Используем стандартные производные для тригонометрических функций:

$$(\sin x)’ = \cos x, \quad (\cos x)’ = -\sin x$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \cos x — \sin x$$

Ответ:

$$f'(x) = \cos x — \sin x$$

Шаг 3.2: Нахождение точек экстремума

Точки экстремума находятся, когда производная равна нулю:

$$\cos x — \sin x = 0$$

Разделим обе части на $\cos x$:

$$1 — \tan x = 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x = 1$$

Решаем это уравнение:

$$x = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

В пределах отрезка $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, решение:

$$x = \frac{5\pi}{4}$$

Ответ:
Точка экстремума: $x = \frac{5\pi}{4}$

Шаг 3.3: Нахождение значений функции в точках экстремума

Для $x = \pi$:

$$f(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 — 1 = -1$$

Для $x = \frac{5\pi}{4}$:

$$f\left( \frac{5\pi}{4} \right) = \sin \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$$

Для $x = \frac{3\pi}{2}$:

$$f\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1$$

Ответ:

• $f(\pi) = -1$
• $f\left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}$
• $f\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1$

Шаг 3.4: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке $[ \pi; \frac{3\pi}{2} ]$

Из значений функции:

• Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = -\sqrt{2}$
• Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = -1$

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -\sqrt{2}$
• $y_{\text{max}}=-1$$y_{\text{max}} = -1$