ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 937 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = 2х3 + 3х2 — 36х:

1. на отрезке [-4; 3];
2. на отрезке [-2; 1].

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 — 36x;$

Производная функции:

$$f'(x) = 2(x^3)’ + 3(x^2)’ — (36x)’;$$ $$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x — 36 = 6x^2 + 6x — 36;$$

Точки экстремума:

$$6x^2 + 6x — 36 = 0;$$ $$x^2 + x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;$$

1) На отрезке $[-4; 3]$:

$$y(-4) = 2 \cdot (-4)^3 + 3 \cdot (-4)^2 — 36 \cdot (-4) = -128 + 48 + 144 = 64;$$ $$y(-3) = 2 \cdot (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 — 36 \cdot (-3) = -54 + 27 + 108 = 81;$$ $$y(2) = 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 — 36 \cdot 2 = 16 + 12 — 72 = -44;$$ $$y(3) = 3 \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 — 36 \cdot 3 = 81 + 27 — 108 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -44; \, y_{\text{max}} = 81.$

2) На отрезке $[-2; 1]$:

$$y(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 — 36 \cdot (-2) = -16 + 12 + 72 = 68;$$ $$y(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 — 36 \cdot 1 = 2 + 3 — 36 = -31;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -31; \, y_{\text{max}} = 68.$

Задача: $f(x) = 2x^3 + 3x^2 — 36x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для начала нам нужно найти производную функции $f(x)$. Напоминаю, что для вычисления производной используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^n$ (где $n$ — постоянная) равна $n \cdot x^{n-1}$,
• Производная от константы равна нулю.

Таким образом, производная функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 — 36x$ будет вычисляться поэтапно:

1. Для $2x^3$: применяем правило дифференцирования для степеней:

   $$(2x^3)’ = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$$

2. Для $3x^2$:

   $$(3x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$$

3. Для $-36x$:

   $$(-36x)’ = -36$$

Теперь, складываем все результаты:

$$f'(x) = 6x^2 + 6x — 36$$

Ответ:

$$f'(x) = 6x^2 + 6x — 36$$

Шаг 2: Нахождение точек экстремума

Точки экстремума (максимума или минимума) находятся в точках, где производная равна нулю. Поэтому решим уравнение:

$$6x^2 + 6x — 36 = 0$$

Для удобства разделим все части на 6:

$$x^2 + x — 6 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = 1$, и $c = -6$.

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Таким образом, стационарные точки: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Ответ:
Точки экстремума: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$

Шаг 3: Нахождение значений функции в точках экстремума

Для того чтобы найти значения функции в этих точках экстремума, подставим $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$ в исходную функцию $f(x) = 2x^3 + 3x^2 — 36x$.

Для $x = -3$:

$$f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 — 36(-3)$$

Вычисляем поэтапно:

$$f(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 — 36(2)$$

Вычисляем поэтапно:

$$f(2) = 2(8) + 3(4) — 36(2) = 16 + 12 — 72 = -44$$

Ответ:

• $f(-3) = 81$
• $f(2) = -44$

Шаг 4: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезках

Теперь рассмотрим два отрезка, на которых нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции. Для этого мы подставим в функцию граничные точки отрезков и точки экстремума, которые мы нашли.

1) На отрезке $[-4; 3]$:

• Подставим $x = -4$:

$$f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 — 36(-4) = -128 + 48 + 144 = 64$$

• Подставим $x = -3$:

$$f(-3) = 81 \quad (\text{мы уже вычисляли это значение ранее})$$

• Подставим $x = 2$:

$$f(2) = -44 \quad (\text{мы уже вычисляли это значение ранее})$$

• Подставим $x = 3$:

$$f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 — 36(3) = 54 + 27 — 108 = -27$$

Таким образом, на отрезке $[-4; 3]$ максимальное значение функции $y_{\text{max}} = 81$, а минимальное $y_{\text{min}} = -44$.

Ответ:
$y_{\text{min}} = -44; \, y_{\text{max}} = 81$

2) На отрезке $[-2; 1]$:

• Подставим $x = -2$:

$$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 — 36(-2) = -16 + 12 + 72 = 68$$

• Подставим $x = 1$:

$$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 — 36(1) = 2 + 3 — 36 = -31$$

Таким образом, на отрезке $[-2; 1]$ максимальное значение функции $y_{\text{max}} = 68$, а минимальное $y_{\text{min}} = -31$.

Ответ:
$y_{\text{min}} = -31; \, y_{\text{max}} = 68$

$$y_{\text{min}} = -31; \, y_{\text{max}} = 68$$