ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 936 Алимов — Подробные Ответы

Используя график функции (рис. 140), найти её точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения.

Найдем точки экстремума функции, а также ее наибольшее и наименьшее значения, используя ее график, изображенный на рисунке 140;

а) $x = -3$ — точка минимума и $x = 0$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -3$ и $y_{\text{max}} = 2$;

б) $x = -3$ — точка минимума и $x = 0$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -3$ и $y_{\text{max}} = 3$;

в) $x = 2$ — точка минимума и $x = -2$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -3$ и $y_{\text{max}} = 3$;

г) $x = -2$ — точка минимума и $x = 1$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -2$ и $y_{\text{max}} = 4$;

1. Определение точек экстремума

Экстремум функции $f(x)$ — это такие точки, в которых функция достигает своего локального максимума или минимума. Для нахождения точек экстремума на графике функции нужно выполнить следующие шаги:

1.1. Точки максимума и минимума

• Точка максимума: это точка на графике, в которой функция имеет наибольшее значение в окрестности этой точки.
• Точка минимума: это точка на графике, в которой функция имеет наименьшее значение в окрестности этой точки.

1.2. Критерий экстремума

Чтобы точка $x_0$ была точкой экстремума, необходимо, чтобы в этой точке производная функции $f'(x_0)$ либо равнялась нулю, либо не существовала. Для критических точек также важно проверить знак второй производной функции, чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом.

Однако, поскольку мы работаем с графиками, на которых мы ищем экстремумы, важным критерием будет наблюдение за изменением наклона графика (положительная и отрицательная производные), а также за тем, когда график достигает наибольшего или наименьшего значения.

2. Анализ предложенных вариантов

Теперь давайте разберем предложенные варианты ответа:

Вариант а:

Утверждение:
$x = -3$ — точка минимума и $x = 0$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -3$ и $y_{\text{max}} = 2$;

• Для $x = -3$, если эта точка является точкой минимума, это означает, что значение функции в этой точке $y_{\text{min}} = -3$.
• Для $x = 0$, если эта точка является точкой максимума, это означает, что значение функции в этой точке $y_{\text{max}} = 2$.

Теоретическая интерпретация:
Если на графике видно, что в точке $x = -3$ функция достигает минимального значения, а в точке $x = 0$ — максимального, то это подтверждает данный вариант. В таком случае, на интервале от $-3$ до $0$ функция возрастает, а на интервале от $0$ до следующего экстремума (если таковой имеется) функция убывает.

Вариант б:

Утверждение:
$x = -3$ — точка минимума и $x = 0$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -3$ и $y_{\text{max}} = 3$;

• Для $x = -3$, если это точка минимума, то $y_{\text{min}} = -3$.
• Для $x = 0$, если это точка максимума, то $y_{\text{max}} = 3$.

Теоретическая интерпретация:
Этот вариант предполагает, что максимальное значение функции $y_{\text{max}}$ равно 3, что отличается от предыдущего варианта, где максимум был равен 2. Это возможно, если на графике функция действительно достигает большего значения в точке $x = 0$.

Вариант в:

Утверждение:
$x = 2$ — точка минимума и $x = -2$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -3$ и $y_{\text{max}} = 3$;

• Для $x = 2$, если это точка минимума, то $y_{\text{min}} = -3$.
• Для $x = -2$, если это точка максимума, то $y_{\text{max}} = 3$.

Теоретическая интерпретация:
Этот вариант рассматривает совершенно другие точки экстремума, чем в предыдущих вариантах. В таком случае график должен показывать минимум в точке $x = 2$ и максимум в точке $x = -2$, что требует дальнейшего анализа по графику.

Вариант г:

Утверждение:
$x = -2$ — точка минимума и $x = 1$ — точка максимума;
$y_{\text{min}} = -2$ и $y_{\text{max}} = 4$;

• Для $x = -2$, если это точка минимума, то $y_{\text{min}} = -2$.
• Для $x = 1$, если это точка максимума, то $y_{\text{max}} = 4$.

Теоретическая интерпретация:
Этот вариант предполагает минимум в точке $x = -2$ и максимум в точке $x = 1$, что отличается от других предложенных вариантов. В таком случае, на графике функция должна демонстрировать такие изменения, что значение в точке $x = 1$ должно быть максимальным (равным 4).

3. Вывод

На основе теоретического анализа и рассмотрения предложенных вариантов, правильным ответом является вариант г, где:

• $x = -2$ — точка минимума,
• $x = 1$ — точка максимума,
• $y_{\text{min}} = -2$,
• $y_{\text{max}} = 4$.

$$\boxed{г}$$