ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 933 Алимов — Подробные Ответы

Задача

$y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
$y = \frac{- x^{2} + 3 x - 1}{x} = - x + 3 - \frac{1}{x}$
$y = \frac{4 + x - 2 x^{2}}{(x - 2)^{2}}$

Краткий ответ:

1) $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$

а) Область определения:
$D (x) = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

б) Производная функции:

$y^{'} (x) = \frac{(x^{2})^{'} \cdot (x - 2) - x^{2} \cdot (x - 2)^{'}}{(x - 2)^{2}}$ $y^{'} (x) = \frac{2 x \cdot (x - 2) - x^{2} \cdot 1}{(x - 2)^{2}}$ $y^{'} (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2}}{(x - 2)^{2}} = \frac{x^{2} - 4 x}{(x - 2)^{2}}$

в) Стационарные точки:

$x^{2} - 4 x = 0$ $x \cdot (x - 4) = 0$ $x_{1} = 0 и x_{2} = 4$

г) Значения функции:

$f (0) = \frac{0^{2}}{0 - 2} = 0$ $f (4) = \frac{4^{2}}{4 - 2} = \frac{16}{2} = 8$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(- \infty; 0)$ и $(4; + \infty)$
Убывает на $(0; 2)$ и $(2; 4)$
$x = 4$ — точка минимума
$x = 0$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 2$	$2 < x < 4$	$4$	$x > 4$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	$0$	$↘$	$↘$	$8$	$↗$

2) $y = \frac{- x^{2} + 3 x - 1}{x} = - x + 3 - \frac{1}{x}$

а) Область определения:
$D (x) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

б) Производная функции:

$y^{'} (x) = - (x - 3)^{'} - {(\frac{1}{x})}^{'} = - 1 + \frac{1}{x^{2}}$

в) Стационарные точки:

$- 1 + \frac{1}{x^{2}} = 0$ $- x^{2} + 1 = 0$ $(1 + x) (1 - x) = 0$ $x_{1} = - 1 и x_{2} = 1$

г) Значения функции:

$f (- 1) = 1 + 3 + \frac{1}{1} = 5$ $f (1) = - 1 + 3 - \frac{1}{1} = 1$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(- 1; 0)$ и $(0; 1)$
Убывает на $(- \infty; - 1)$ и $(1; + \infty)$
$x = - 1$ — точка минимума
$x = 1$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$5$	$↗$	$↗$	$1$	$↘$

3) $y = \frac{4 + x - 2 x^{2}}{(x - 2)^{2}}$

а) Область определения:
$D (x) = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

б) Производная функции: $y^{'} (x) = \frac{(1 - 2 x) \cdot (x^{2} - 4 x + 4) - (4 + x - 2 x^{2}) \cdot 2 (x - 2)}{(x - 2)^{4}}$ $y^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x - 8 x - 2 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} - 32 x + 16}{(x - 2)^{4}}$ $y^{'} (x) = \frac{7 x^{2} - 24 x + 20}{(x - 2)^{4}}$

в) Стационарные точки:

$7 x^{2} - 24 x + 20 = 0$ $D = 24^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 20 = 576 - 560 = 16$ $x_{1} = \frac{24 - 4}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} и x_{2} = \frac{24 + 4}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$ $(x - 1 \frac{3}{7}) (x - 2) = 0$

г) Значения функции:

$f (\frac{10}{7}) = \frac{4 + \frac{10}{7} - 2 {(\frac{10}{7})}^{2}}{{(\frac{10}{7} - 2)}^{2}} = \frac{\frac{38}{7} - \frac{200}{49}}{{(- \frac{4}{7})}^{2}} = \frac{\frac{66}{49}}{\frac{16}{49}} = \frac{66}{16} = \frac{33}{8} = 4 \frac{1}{8}$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(- \infty; 1 \frac{3}{7})$ и $(2; + \infty)$
Убывает на $(1 \frac{3}{7}; 2)$
$x = 1 \frac{3}{7}$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 1 \frac{3}{7}$	$1 \frac{3}{7}$	$1 \frac{3}{7} < x < 2$	$x > 2$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$+$
$f (x)$	$↗$	$4 \frac{1}{8}$	$↘$	$↗$

Подробный ответ:

1) $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$

а) Область определения:

Область определения функции зависит от выражения $\frac{x^{2}}{x - 2}$ . Функция не определена при $x = 2$ , так как при $x = 2$ знаменатель становится равным нулю. Следовательно, область определения функции:

$D (x) = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

Ответ:

$D (x) = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ , используем правило дифференцирования дроби (правило частного):

$y^{'} (x) = \frac{(x^{2})^{'} \cdot (x - 2) - x^{2} \cdot (x - 2)^{'}}{(x - 2)^{2}}$

Здесь:

Производная от $x^{2}$ равна $2 x$ ,
Производная от $x - 2$ равна 1.

Подставим эти значения в формулу:

$y^{'} (x) = \frac{2 x \cdot (x - 2) - x^{2} \cdot 1}{(x - 2)^{2}}$

Теперь упростим числитель:

$y^{'} (x) = \frac{2 x (x - 2) - x^{2}}{(x - 2)^{2}}$

Раскроем скобки в числителе:

$y^{'} (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2}}{(x - 2)^{2}}$ $y^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{(x - 2)^{2}}$

Ответ:

$y^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{(x - 2)^{2}}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки функции находятся, когда производная равна нулю:

$y^{'} (x) = 0$

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю (поскольку знаменатель всегда положителен):

$x^{2} - 4 x = 0$

Решаем это уравнение:

$x (x - 4) = 0$

Таким образом, $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 4$ .

Ответ:
Стационарные точки: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные стационарные точки $x = 0$ и $x = 4$ в исходную функцию $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ .

Для $x = 0$ :

$f (0) = \frac{0^{2}}{0 - 2} = 0$

Для $x = 4$ :

$f (4) = \frac{4^{2}}{4 - 2} = \frac{16}{2} = 8$

Ответ:

$f (0) = 0$
$f (4) = 8$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа промежутков монотонности, изучим знак производной $y^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{(x - 2)^{2}}$ .

В числителе: $x^{2} - 4 x = x (x - 4)$ , который меняет знак в точках $x = 0$ и $x = 4$ .
Знаменатель $(x - 2)^{2}$ всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком числителя.

Для $x < 0$ (например, $x = - 1$ ):

$y^{'} (- 1) = \frac{(- 1) (- 1 - 4)}{(- 1 - 2)^{2}} = \frac{5}{9} > 0$

Это означает, что функция возрастает на интервале $(- \infty; 0)$ .

Для $0 < x < 2$ (например, $x = 1$ ):

$y^{'} (1) = \frac{(1) (1 - 4)}{(1 - 2)^{2}} = \frac{- 3}{1} = - 3$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(0; 2)$ .

Для $2 < x < 4$ (например, $x = 3$ ):

$y^{'} (3) = \frac{(3) (3 - 4)}{(3 - 2)^{2}} = \frac{- 3}{1} = - 3$

Это также отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(2; 4)$ .

Для $x > 4$ (например, $x = 5$ ):

$y^{'} (5) = \frac{(5) (5 - 4)}{(5 - 2)^{2}} = \frac{5}{9} > 0$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(4; + \infty)$ .

Ответ:

Возрастает на $(- \infty; 0)$ и $(4; + \infty)$
Убывает на $(0; 2)$ и $(2; 4)$
$x = 4$ — точка минимума
$x = 0$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 2$	$2 < x < 4$	$4$	$x > 4$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	$0$	$↘$	$↘$	$8$	$↗$

2) $y = \frac{- x^{2} + 3 x - 1}{x} = - x + 3 - \frac{1}{x}$

а) Область определения:

Функция $y = - x + 3 - \frac{1}{x}$ содержит выражение $\frac{1}{x}$ , которое не определено при $x = 0$ . Следовательно, область определения функции:

$D (x) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

Ответ:

$D (x) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = - x + 3 - \frac{1}{x}$ применяем правила дифференцирования:

Производная от $- x$ равна $- 1$ ,
Производная от $3$ равна 0,
Производная от $- \frac{1}{x}$ равна $\frac{1}{x^{2}}$ .

Таким образом, производная функции:

$y^{'} (x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Ответ:

$y^{'} (x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$- 1 + \frac{1}{x^{2}} = 0$

Решаем это уравнение:

$\frac{1}{x^{2}} = 1$ $x^{2} = 1$ $x = \pm 1$

Ответ:
Стационарные точки: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$

г) Значения функции:

Теперь подставим стационарные точки $x = - 1$ и $x = 1$ в исходную функцию $y = - x + 3 - \frac{1}{x}$ .

Для $x = - 1$ :

$f (- 1) = - (- 1) + 3 - \frac{1}{- 1} = 1 + 3 + 1 = 5$

Для $x = 1$ :

$f (1) = - (1) + 3 - \frac{1}{1} = - 1 + 3 - 1 = 1$

Ответ:

$f (- 1) = 5$
$f (1) = 1$

д) Промежутки монотонности:

Для $x < - 1$ (например, $x = - 2$ ):

$y^{'} (- 2) = - 1 + \frac{1}{(- 2)^{2}} = - 1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} < 0$

Функция убывает на $(- \infty; - 1)$ .

Для $- 1 < x < 0$ (например, $x = - \frac{1}{2}$ ):

$y^{'} (- \frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} = - 1 + 4 = 3 > 0$

Функция возрастает на $(- 1; 0)$ .

Для $0 < x < 1$ (например, $x = \frac{1}{2}$ ):

$y (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} = - 1 + 4 = 3 > 0$

Функция возрастает на $(0; 1)$ .

Для $x > 1$ (например, $x = 2$ ):

$y^{'} (2) = - 1 + \frac{1}{2^{2}} = - 1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} < 0$

Функция убывает на $(1; + \infty)$ .

Ответ:

Возрастает на $(- 1; 0)$ и $(0; 1)$
Убывает на $(- \infty; - 1)$ и $(1; + \infty)$
$x = - 1$ — точка минимума
$x = 1$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$5$	$↗$	$↗$	$1$	$↘$

3) $y = \frac{4 + x - 2 x^{2}}{(x - 2)^{2}}$

а) Область определения:

Функция $y = \frac{4 + x - 2 x^{2}}{(x - 2)^{2}}$ имеет выражение $(x - 2)^{2}$ в знаменателе. Эта функция не определена при $x = 2$ , так как знаменатель будет равен нулю. Следовательно, область определения:

$D (x) = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

Ответ:

$D (x) = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{4 + x - 2 x^{2}}{(x - 2)^{2}}$ , используем правило дифференцирования дроби:

Рассчитаем производные в числителе:

Производная от $4 + x - 2 x^{2}$ равна $1 - 4 x$ ,
Производная от $(x - 2)^{2}$ равна $2 (x - 2)$ .

Подставим эти значения:

$y^{'} (x) = \frac{(1 - 4 x) \cdot (x - 2)^{2} - (4 + x - 2 x^{2}) \cdot 2 (x - 2)}{(x - 2)^{4}}$

Продолжаем упрощать, раскрывая скобки и получаем:

$y^{'} (x) = \frac{7 x^{2} - 24 x + 20}{(x - 2)^{4}}$

Ответ:

$y^{'} (x) = \frac{7 x^{2} - 24 x + 20}{(x - 2)^{4}}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$7 x^{2} - 24 x + 20 = 0$

Находим дискриминант:

$D = 24^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 20 = 576 - 560 = 16$

Решаем квадратное уравнение:

$x_{1} = \frac{24 - 4}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}, x_{2} = \frac{24 + 4}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$

Таким образом, $x_{2} = 2$ является точкой, в которой функция не определена, а $x_{1} = \frac{10}{7}$ — это точка стационарная.

Ответ:
Стационарная точка: $x_{1} = \frac{10}{7}$

г) Значения функции:

Для нахождения значений функции в точках стационарности подставим $x = \frac{10}{7}$ в исходную функцию:

$f (\frac{10}{7}) = \frac{4 + \frac{10}{7} - 2 {(\frac{10}{7})}^{2}}{{(\frac{10}{7} - 2)}^{2}}$

После упрощения:

$f (\frac{10}{7}) = 4 \frac{1}{8}$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$f (\frac{10}{7}) = 4 \frac{1}{8}$

д) Промежутки монотонности:

Для определения промежутков монотонности рассмотрим знак производной. Мы знаем, что функция возрастает, если производная положительна, и убывает, если производная отрицательна. Мы можем использовать знаки выражения $7 x^{2} - 24 x + 20$ , чтобы определить промежутки возрастания и убывания.

Ответ:

Возрастает на $(- \infty; 1 \frac{3}{7})$ и $(2; + \infty)$
Убывает на $(1 \frac{3}{7}; 2)$
$x = 1 \frac{3}{7}$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 1 \frac{3}{7}$	$1 \frac{3}{7}$	$1 \frac{3}{7} < x < 2$	$x > 2$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$+$
$f (x)$	$↗$	$4 \frac{1}{8}$	$↘$	$↗$

Оцени решение