ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 932 Алимов — Подробные Ответы

1. у = хе^-х;
2. у = хех;
3. у = ех2;
4. у = е ^-x2.

1) $y = x \cdot e^{-x}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x)’ \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})’;$
$y'(x) = 1 \cdot e^{-x} — x \cdot e^{-x} = e^{-x} \cdot (1 — x);$

в) Стационарные точки:
$1 — x = 0, \text{ отсюда } x = 1;$

г) Значения функции:
$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e};$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-∞; 1)$;
• Убывает на $(1; +∞)$;
• $x = 1$ — точка максимума;

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$y = \lim_{x \to ∞} (x \cdot e^{-x}) = \lim_{x \to ∞} \left(\frac{x}{e^x}\right) = 0;$

ж) Таблица свойств функции:

2) $y = x \cdot e^{x}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x)’ \cdot e^{x} + x \cdot (e^{x})’;$
$y'(x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (1 + x);$

в) Стационарные точки:
$1 + x = 0, \text{ отсюда } x = -1;$

г) Значения функции:
$f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e};$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(1; +∞)$;
• Убывает на $(-∞; 1)$;
• $x = -1$ — точка минимума;

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$y = \lim_{x \to ∞} (x \cdot e^{x}) = 0 \cdot 0 = 0;$

ж) Таблица свойств функции:

3) $y = e^{x^2}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^2)’ \cdot (e^u)’ = 2x \cdot e^u = 2x \cdot e^{x^2};$

в) Стационарные точки:
$2x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$

г) Значения функции:
$f(0) = e^{0^2} = e^0 = 1;$
$f(1) = e^{1^2} = e^1 = e;$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(0; +∞)$;
• Убывает на $(-∞; 0)$;
• $x = 0$ — точка минимума;

е) Таблица свойств функции:

4) $y = e^{-x^2}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (-x^2)’ \cdot (e^u)’ = -2x \cdot e^u = -2x \cdot e^{-x^2};$

в) Стационарные точки:
$-2x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$

г) Значения функции:
$f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1;$
$f(±2) = e^{-(±2)^2} = e^{-4} = \frac{1}{e^4};$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-∞; 0)$;
• Убывает на $(0; +∞)$;
• $x = 0$ — точка максимума;

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$y = \lim_{x \to ∞} e^{-x^2} = \lim_{x \to ∞} \frac{1}{e^{x^2}} = 0;$

ж) Таблица свойств функции:

Задача 1: $y = x \cdot e^{-x}$

а) Область определения:

Функция $y = x \cdot e^{-x}$ является произведением двух выражений: $x$, которое определено для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, и экспоненциальной функции $e^{-x}$, которая также определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x \cdot e^{-x}$, применим правило дифференцирования произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})’$$

Где:

• Производная от $x$ равна 1.
• Производная от $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$ по правилу дифференцирования экспоненциальной функции.

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} — x \cdot e^{-x} = e^{-x} \cdot (1 — x)$$

Ответ:

$$y'(x) = e^{-x} \cdot (1 — x)$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки функции находятся там, где производная равна нулю:

$$e^{-x} \cdot (1 — x) = 0$$

Поскольку $e^{-x}$ никогда не равно нулю для любых значений $x$, уравнение сводится к:

$$1 — x = 0$$

Таким образом, $x = 1$.

Ответ:
Стационарная точка: $x = 1$

г) Значения функции:

Теперь подставим $x = 1$ в исходную функцию $y = x \cdot e^{-x}$ для нахождения значения функции в этой точке:

$$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$$f(1) = \frac{1}{e}$$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы исследовать промежутки монотонности, рассмотрим знак производной $y'(x) = e^{-x} \cdot (1 — x)$. Важным моментом является то, что $e^{-x}$ всегда положительно, а знак производной зависит от $(1 — x)$.

Для $x < 1$:
Подставим $x = 0$:

$$y'(0) = e^{0} \cdot (1 — 0) = 1 > 0$$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(-\infty; 1)$.

Для $x > 1$:
Подставим $x = 2$:

$$y'(2) = e^{-2} \cdot (1 — 2) = -e^{-2} < 0$$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(1; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; 1)$.
• Функция убывает на $(1; +\infty)$.
• $x = 1$ — точка максимума.

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} x \cdot e^{-x}$$

Это выражение можно переписать как:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$$

При $x \to +\infty$ числитель $x$ растет, а знаменатель $e^x$ растет гораздо быстрее. Таким образом, предел равен 0.

Ответ:
Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = 0$$

ж) Таблица свойств функции:

Задача 2: $y = x \cdot e^{x}$

а) Область определения:

Функция $y = x \cdot e^{x}$ состоит из произведения $x$, которое определено для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, и экспоненциальной функции $e^x$, которая также определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x \cdot e^{x}$, применим правило дифференцирования произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot e^{x} + x \cdot (e^{x})’$$

Где:

• Производная от $x$ равна 1.
• Производная от $e^{x}$ равна $e^{x}$.

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (1 + x)$$

Ответ:

$$y'(x) = e^{x} \cdot (1 + x)$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки функции находятся там, где производная равна нулю:

$$e^{x} \cdot (1 + x) = 0$$

Поскольку $e^{x}$ никогда не равно нулю для любых значений $x$, уравнение сводится к:

$$1 + x = 0$$

Таким образом, $x = -1$.

Ответ:
Стационарная точка: $x = -1$

г) Значения функции:

Теперь подставим $x = -1$ в исходную функцию $y = x \cdot e^{x}$ для нахождения значения функции в этой точке:

$$f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$$f(-1) = -\frac{1}{e}$$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы исследовать промежутки монотонности, рассмотрим знак производной $y'(x) = e^{x} \cdot (1 + x)$. Поскольку $e^{x} > 0$ для всех $x$, знак производной зависит от знака $(1 + x)$.

Для $x < -1$:
Подставим $x = -2$:

$$y'(-2) = e^{-2} \cdot (1 + (-2)) = e^{-2} \cdot (-1) < 0$$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(-\infty; -1)$.

Для $x > -1$:
Подставим $x = 0$:

$$y'(0) = e^{0} \cdot (1 + 0) = 1 > 0$$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(-1; +\infty)$.

Ответ:

• Функция убывает на $(-\infty; -1)$.
• Функция возрастает на $(-1; +\infty)$.
• $x = -1$ — точка минимума.

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} x \cdot e^{x}$$

При $x \to +\infty$ функция $x \cdot e^{x}$ стремится к бесконечности, поскольку экспоненциальная функция растет быстрее, чем линейная. Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

Ответ:
Нет горизонтальной асимптоты.

ж) Таблица свойств функции:

Задача 3: $y = e^{x^2}$

а) Область определения:

Функция $y = e^{x^2}$ является составной функцией, где $e^u$ определено для всех значений $u$, а $x^2$ — это просто квадратичная функция. Следовательно, функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = e^{x^2}$, применим цепное правило. Производная от $e^{u}$ равна $e^{u}$, умноженная на производную аргумента $u = x^2$:

$$y'(x) = (x^2)’ \cdot e^{x^2} = 2x \cdot e^{x^2}$$

Ответ:

$$y'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю:

$$2x \cdot e^{x^2} = 0$$

Поскольку $e^{x^2}$ никогда не равно нулю, уравнение сводится к:

$$2x = 0$$

Таким образом, $x = 0$.

Ответ:
Стационарная точка: $x = 0$

г) Значения функции:

Теперь подставим $x = 0$ в исходную функцию $y = e^{x^2}$ для нахождения значения функции в этой точке:

$$f(0) = e^{0^2} = e^0 = 1$$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$$f(0) = 1$$

д) Промежутки монотонности:

Поскольку производная $y'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$ изменяет знак в зависимости от $x$, то:

Для $x < 0$:
Подставим $x = -1$:

$$y'(-1) = 2(-1) \cdot e^{(-1)^2} = -2e > 0$$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(-\infty; 0)$.

Для $x > 0$:
Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = 2(1) \cdot e^{(1)^2} = 2e > 0$$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(0; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(0; +\infty)$.
• Функция убывает на $(-\infty; 0)$.
• $x = 0$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

Задача 4: $y = e^{-x^2}$

а) Область определения:

Функция $y = e^{-x^2}$ является составной функцией, где $e^u$ определено для всех значений $u$, а $-x^2$ — это квадратичная функция. Следовательно, функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = e^{-x^2}$, применим цепное правило. Производная от $e^{u}$ равна $e^{u}$, умноженная на производную аргумента $u = -x^2$:

$$y'(x) = (-x^2)’ \cdot e^{-x^2} = -2x \cdot e^{-x^2}$$

Ответ:

$$y'(x) = -2x \cdot e^{-x^2}$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю:

$$-2x \cdot e^{-x^2} = 0$$

Поскольку $e^{-x^2}$ никогда не равно нулю, уравнение сводится к:

$$-2x = 0$$

Таким образом, $x = 0$.

Ответ:
Стационарная точка: $x = 0$

г) Значения функции:

Теперь подставим $x = 0$ в исходную функцию $y = e^{-x^2}$ для нахождения значения функции в этой точке:

$$f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1$$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$$f(0) = 1$$

д) Промежутки монотонности:

Поскольку производная $y'(x) = -2x \cdot e^{-x^2}$ меняет знак в зависимости от $x$, то:

Для $x < 0$:
Подставим $x = -1$:

$$y'(-1) = -2(-1) \cdot e^{-(-1)^2} = 2e^{-1} > 0$$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(-\infty; 0)$.

Для $x > 0$:
Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = -2(1) \cdot e^{-(1)^2} = -2e^{-1} < 0$$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(0; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; 0)$.
• Функция убывает на $(0; +\infty)$.
• $x = 0$ — точка максимума.

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} e^{-x^2}$$

При $x \to +\infty$ экспоненциальная функция $e^{-x^2}$ стремится к нулю.

Ответ:
Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = 0$$

ж) Таблица свойств функции: