ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 932 Алимов — Подробные Ответы

Задача

у = хе^-х;
у = хех;
у = ех2;
у = е ^-x2.

Краткий ответ:

1) $y = x \cdot e^{-x}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x)’ \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})’;$
$y'(x) = 1 \cdot e^{-x} — x \cdot e^{-x} = e^{-x} \cdot (1 — x);$

в) Стационарные точки:
$1 — x = 0, \text{ отсюда } x = 1;$

г) Значения функции:
$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e};$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(-∞; 1)$ ;
Убывает на $(1; +∞)$ ;
$x = 1$ — точка максимума;

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$y = \lim_{x \to ∞} (x \cdot e^{-x}) = \lim_{x \to ∞} \left(\frac{x}{e^x}\right) = 0;$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 1$	$1$	$x > 1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$↗$	$\frac{1}{e}$	$↘$

2) $y = x \cdot e^{x}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x)’ \cdot e^{x} + x \cdot (e^{x})’;$
$y'(x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (1 + x);$

в) Стационарные точки:
$1 + x = 0, \text{ отсюда } x = -1;$

г) Значения функции:
$f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e};$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(1; +∞)$ ;
Убывает на $(-∞; 1)$ ;
$x = -1$ — точка минимума;

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$y = \lim_{x \to ∞} (x \cdot e^{x}) = 0 \cdot 0 = 0;$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -1$	$-1$	$x > -1$
$f'(x)$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$↘$	$-\frac{1}{e}$	$↗$

3) $y = e^{x^2}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^2)’ \cdot (e^u)’ = 2x \cdot e^u = 2x \cdot e^{x^2};$

в) Стационарные точки:
$2x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$

г) Значения функции:
$f(0) = e^{0^2} = e^0 = 1;$
$f(1) = e^{1^2} = e^1 = e;$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(0; +∞)$ ;
Убывает на $(-∞; 0)$ ;
$x = 0$ — точка минимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$x > 0$
$f'(x)$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$↘$	$1$	$↗$

4) $y = e^{-x^2}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (-x^2)’ \cdot (e^u)’ = -2x \cdot e^u = -2x \cdot e^{-x^2};$

в) Стационарные точки:
$-2x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$

г) Значения функции:
$f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1;$
$f(±2) = e^{-(±2)^2} = e^{-4} = \frac{1}{e^4};$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(-∞; 0)$ ;
Убывает на $(0; +∞)$ ;
$x = 0$ — точка максимума;

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:
$y = \lim_{x \to ∞} e^{-x^2} = \lim_{x \to ∞} \frac{1}{e^{x^2}} = 0;$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$x > 0$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$↗$	$1$	$↘$

Подробный ответ:

Задача 1: $y = x \cdot e^{-x}$

а) Область определения:

Функция $y = x \cdot e^{-x}$ является произведением двух выражений: $x$ , которое определено для всех $x \in (-\infty; +\infty)$ , и экспоненциальной функции $e^{-x}$ , которая также определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x \cdot e^{-x}$ , применим правило дифференцирования произведения:

$y'(x) = (x)’ \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})’$

Где:

Производная от $x$ равна 1.
Производная от $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$ по правилу дифференцирования экспоненциальной функции.

Таким образом, производная функции:

$y'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} — x \cdot e^{-x} = e^{-x} \cdot (1 — x)$

Ответ:

$y'(x) = e^{-x} \cdot (1 — x)$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки функции находятся там, где производная равна нулю:

$e^{-x} \cdot (1 — x) = 0$

Поскольку $e^{-x}$ никогда не равно нулю для любых значений $x$ , уравнение сводится к:

$1 — x = 0$

Таким образом, $x = 1$ .

Ответ:
Стационарная точка: $x = 1$

г) Значения функции:

Теперь подставим $x = 1$ в исходную функцию $y = x \cdot e^{-x}$ для нахождения значения функции в этой точке:

$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$f(1) = \frac{1}{e}$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы исследовать промежутки монотонности, рассмотрим знак производной $y'(x) = e^{-x} \cdot (1 — x)$ . Важным моментом является то, что $e^{-x}$ всегда положительно, а знак производной зависит от $(1 — x)$ .

Для $x < 1$ :
Подставим $x = 0$ :

$y'(0) = e^{0} \cdot (1 — 0) = 1 > 0$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(-\infty; 1)$ .

Для $x > 1$ :
Подставим $x = 2$ :

$y'(2) = e^{-2} \cdot (1 — 2) = -e^{-2} < 0$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(1; +\infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $(-\infty; 1)$ .
Функция убывает на $(1; +\infty)$ .
$x = 1$ — точка максимума.

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при $x \to +\infty$ :

$y = \lim_{x \to \infty} x \cdot e^{-x}$

Это выражение можно переписать как:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$

При $x \to +\infty$ числитель $x$ растет, а знаменатель $e^x$ растет гораздо быстрее. Таким образом, предел равен 0.

Ответ:
Уравнение горизонтальной асимптоты:

$y = 0$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 1$	$1$	$x > 1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$↗$	$\frac{1}{e}$	$↘$

Задача 2: $y = x \cdot e^{x}$

а) Область определения:

Функция $y = x \cdot e^{x}$ состоит из произведения $x$ , которое определено для всех $x \in (-\infty; +\infty)$ , и экспоненциальной функции $e^x$ , которая также определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x \cdot e^{x}$ , применим правило дифференцирования произведения:

$y'(x) = (x)’ \cdot e^{x} + x \cdot (e^{x})’$

Где:

Производная от $x$ равна 1.
Производная от $e^{x}$ равна $e^{x}$ .

Таким образом, производная функции:

$y'(x) = e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (1 + x)$

Ответ:

$y'(x) = e^{x} \cdot (1 + x)$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки функции находятся там, где производная равна нулю:

$e^{x} \cdot (1 + x) = 0$

Поскольку $e^{x}$ никогда не равно нулю для любых значений $x$ , уравнение сводится к:

$1 + x = 0$

Таким образом, $x = -1$ .

Ответ:
Стационарная точка: $x = -1$

г) Значения функции:

Теперь подставим $x = -1$ в исходную функцию $y = x \cdot e^{x}$ для нахождения значения функции в этой точке:

$f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$f(-1) = -\frac{1}{e}$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы исследовать промежутки монотонности, рассмотрим знак производной $y'(x) = e^{x} \cdot (1 + x)$ . Поскольку $e^{x} > 0$ для всех $x$ , знак производной зависит от знака $(1 + x)$ .

Для $x < -1$ :
Подставим $x = -2$ :

$y'(-2) = e^{-2} \cdot (1 + (-2)) = e^{-2} \cdot (-1) < 0$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(-\infty; -1)$ .

Для $x > -1$ :
Подставим $x = 0$ :

$y'(0) = e^{0} \cdot (1 + 0) = 1 > 0$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(-1; +\infty)$ .

Ответ:

Функция убывает на $(-\infty; -1)$ .
Функция возрастает на $(-1; +\infty)$ .
$x = -1$ — точка минимума.

е) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при $x \to +\infty$ :

$y = \lim_{x \to \infty} x \cdot e^{x}$

При $x \to +\infty$ функция $x \cdot e^{x}$ стремится к бесконечности, поскольку экспоненциальная функция растет быстрее, чем линейная. Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

Ответ:
Нет горизонтальной асимптоты.

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -1$	$-1$	$x > -1$
$f'(x)$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$↘$	$-\frac{1}{e}$	$↗$

Задача 3: $y = e^{x^2}$

а) Область определения:

Функция $y = e^{x^2}$ является составной функцией, где $e^u$ определено для всех значений $u$ , а $x^2$ — это просто квадратичная функция. Следовательно, функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$ .

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = e^{x^2}$ , применим цепное правило. Производная от $e^{u}$ равна $e^{u}$ , умноженная на производную аргумента $u = x^2$ :

$y'(x) = (x^2)’ \cdot e^{x^2} = 2x \cdot e^{x^2}$

Ответ:

$y'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю:

$2x \cdot e^{x^2} = 0$

Поскольку $e^{x^2}$ никогда не равно нулю, уравнение сводится к:

$2x = 0$

Таким образом, $x = 0$ .

Ответ:
Стационарная точка: $x = 0$

г) Значения функции:

Теперь подставим $x = 0$ в исходную функцию $y = e^{x^2}$ для нахождения значения функции в этой точке:

$f(0) = e^{0^2} = e^0 = 1$

Ответ:
Значение функции в стационарной точке:

$f(0) = 1$

д) Промежутки монотонности:

Поскольку производная $y'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$ изменяет знак в зависимости от $x$ , то:

Для $x < 0$ :
Подставим $x = -1$ :

$y'(-1) = 2(-1) \cdot e^{(-1)^2} = -2e > 0$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(-\infty; 0)$ .

Для $x > 0$ :
Подставим $x = 1$ :

$y'(1) = 2(1) \cdot e^{(1)^2} = 2e > 0$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(0; +\infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $(0; +\infty)$ .
Функция убывает на $(-\infty; 0)$ .
$x = 0$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$x > 0$
$f'(x)$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$↘$	$1$	$↗$

Задача 4: $y = e^{-x^2}$

а) Область определения:

Функция $y = e^{-x^2}$ является составной функцией, где $e^u$ определено для всех значений $u$ , а $-x^2$ — это квадратичная функция. Следовательно, функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$ .

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = e^{-x^2}$ , применим цепное правило. Производная от $e^{u}$ равна $e^{u}$ , умноженная на производную аргумента $u = -x^2$ :