ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 931 Алимов — Подробные Ответы

Задача

y=3x+1/3x;
4/x -x;
y=x-1/корень x.

Краткий ответ:

1) $y = 3x + \frac{1}{3x}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (3x)’ + \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = 3 — \frac{1}{3x^2}$

в) Стационарные точки:
$3 — \frac{1}{3x^2} = 0$
$9x^2 — 1 = 0$
$(3x + 1)(3x — 1) = 0$
$x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{1}{3}$

г) Значения функции:
$f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1 — 1 = -2$
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 + 1 = 2$
$f(-2) = 3 \cdot (-2) + \frac{1}{3 \cdot 2} = -6 — \frac{1}{6} = -6 \frac{1}{6}$
$f(2) = 3 \cdot 2 + \frac{1}{3 \cdot 2} = 6 + \frac{1}{6} = 6 \frac{1}{6}$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right)$
Убывает на $\left( -\frac{1}{3}; 0 \right) \cup \left( 0; \frac{1}{3} \right)$
$x = -\frac{1}{3}$ — точка минимума
$x = \frac{1}{3}$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{3} < x < 0$	$0 < x < \frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$x > \frac{1}{3}$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$

2) $y = \frac{4}{x} — x$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ — (x)’ = -\frac{4}{x^2} — 1$

в) Стационарные точки:
$-\frac{4}{x^2} — 1 = 0$
$-4 — x^2 = 0$
$x^2 = -4$ — корней нет

г) Нули функции:
$\frac{4}{x} — x = 0$
$4 — x^2 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$

д) Значения функции:
$f(-4) = -\frac{4}{4} + 4 = -1 + 4 = 3$
$f(4) = \frac{4}{4} — 4 = 1 — 4 = -3$

е) Промежутки монотонности:

Убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$-2$	$x < 0$	$x > 0$	$2$
$f'(x)$	$—$	$—$	$—$	$—$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$\searrow$	$0$

3) $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$

а) Область определения:
$D(x) = (0; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x)’ — \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)’ = 1 + \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

в) Стационарные точки:
$1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = 0$
$2x\sqrt{x} + 1 = 0$
$x\sqrt{x} = -\frac{1}{2}$ — корней нет

г) Нули функции:
$x — \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$
$x\sqrt{x} — 1 = 0$
$x\sqrt{x} = 1$
$x = 1$

д) Значения функции:
$f(4) = 4 — \frac{1}{\sqrt{4}} = 4 — \frac{1}{2} = 3.5$

е) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(0; +\infty)$

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x > 0$	$1$
$f'(x)$	$+$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$0$

Подробный ответ:

Задача 1: $y = 3x + \frac{1}{3x}$

а) Область определения:

Область определения функции $y = 3x + \frac{1}{3x}$ зависит от выражения $\frac{1}{3x}$ . Поскольку дробь имеет знаменатель $3x$ , она не определена при $x = 0$ . Таким образом, область определения функции будет:

$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

Ответ:

$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = 3x + \frac{1}{3x}$ , используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $3x$ равна 3.
Для $\frac{1}{3x}$ применяем правило дифференцирования для функции вида $\frac{1}{x}$ . Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$ , и умножаем на константу $\frac{1}{3}$ .

Таким образом, производная функции будет:

$y'(x) = 3 — \frac{1}{3x^2}$

Ответ:

$y'(x) = 3 — \frac{1}{3x^2}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки функции $y = f(x)$ находятся в точках, где производная $y'(x) = 0$ . Приравняем $y'(x)$ к нулю:

$3 — \frac{1}{3x^2} = 0$

Переносим второе слагаемое на правую часть уравнения:

$3 = \frac{1}{3x^2}$

Умножим обе части уравнения на $3x^2$ , чтобы избавиться от знаменателя:

$9x^2 = 1$

Решим это уравнение относительно $x$ :

$x^2 = \frac{1}{9}$

Таким образом, получаем два корня:

$x = -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3}$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -\frac{1}{3}$ , $x_2 = \frac{1}{3}$

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{3}$ в исходную функцию $y = 3x + \frac{1}{3x}$ .

Для $x = -\frac{1}{3}$ :

$f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = -1 — 1 = -2$

Для $x = \frac{1}{3}$ :

$f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{3}} = 1 + 1 = 2$

Для $x = -2$ :

$f(-2) = 3 \cdot (-2) + \frac{1}{3 \cdot (-2)} = -6 — \frac{1}{6} = -6 \frac{1}{6}$

Для $x = 2$ :

$f(2) = 3 \cdot 2 + \frac{1}{3 \cdot 2} = 6 + \frac{1}{6} = 6 \frac{1}{6}$

Ответ:
Значения функции:

$f\left(-\frac{1}{3}\right) = -2$
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 2$
$f(-2) = -6 \frac{1}{6}$
$f(2) = 6 \frac{1}{6}$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы определить промежутки монотонности, необходимо изучить знак производной $y'(x) = 3 — \frac{1}{3x^2}$ на различных интервалах.

Для $x \in (-\infty; -\frac{1}{3})$ :
Подставим $x = -1$ :

$y'(-1) = 3 — \frac{1}{3(-1)^2} = 3 — \frac{1}{3} = \frac{8}{3} > 0$

Это означает, что функция возрастает на интервале $(-\infty; -\frac{1}{3})$ .

Для $x \in (-\frac{1}{3}; 0)$ :
Подставим $x = -\frac{1}{4}$ :

$y’\left(-\frac{1}{4}\right) = 3 — \frac{1}{3\left(-\frac{1}{4}\right)^2} = 3 — \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{16}} = 3 — \frac{16}{3} = -\frac{7}{3} < 0$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(-\frac{1}{3}; 0)$ .

Для $x \in (0; \frac{1}{3})$ :
Подставим $x = \frac{1}{4}$ :

$y’\left(\frac{1}{4}\right) = 3 — \frac{1}{3\left(\frac{1}{4}\right)^2} = 3 — \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{16}} = 3 — \frac{16}{3} = -\frac{7}{3} < 0$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(0; \frac{1}{3})$ .

Для $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$ :
Подставим $x = 1$ :

$y'(1) = 3 — \frac{1}{3(1)^2} = 3 — \frac{1}{3} = \frac{8}{3} > 0$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(\frac{1}{3}; +\infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right)$
Функция убывает на $\left( -\frac{1}{3}; 0 \right) \cup \left( 0; \frac{1}{3} \right)$
$x = -\frac{1}{3}$ — точка минимума
$x = \frac{1}{3}$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{3} < x < 0$	$0 < x < \frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$x > \frac{1}{3}$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$

Задача 2: $y = \frac{4}{x} — x$

а) Область определения:

Функция имеет выражение $\frac{4}{x}$ , которое определено при $x \neq 0$ . Поэтому область определения функции:

$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

Ответ:

$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{4}{x} — x$ , используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $\frac{4}{x}$ — это $-\frac{4}{x^2}$ ,
Производная от $-x$ — это $-1$ .

Таким образом, производная функции будет:

$y'(x) = -\frac{4}{x^2} — 1$

Ответ:

$y'(x) = -\frac{4}{x^2} — 1$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$-\frac{4}{x^2} — 1 = 0$

Переносим $-1$ на правую сторону:

$-\frac{4}{x^2} = 1$

Умножаем обе части на $-1$ :

$\frac{4}{x^2} = 1$

Теперь умножим обе части уравнения на $x^2$ :

$4 = x^2$

Решение этого уравнения:

$x = \pm 2$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -2$ , $x_2 = 2$

г) Нули функции:

Нули функции — это точки, где $y = 0$ , то есть:

$\frac{4}{x} — x = 0$

Решим это уравнение:

$\frac{4}{x} = x$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$ ):

$4 = x^2$

Решение уравнения:

$x = \pm 2$

Ответ:
Нули функции: $x = \pm 2$

д) Значения функции:

Для $x = -4$ :

$f(-4) = \frac{4}{-4} — (-4) = -1 + 4 = 3$

Для $x = 4$ :

$f(4) = \frac{4}{4} — 4 = 1 — 4 = -3$

Ответ:
Значения функции:

$f(-4) = 3$
$f(4) = -3$

е) Промежутки монотонности:

Чтобы исследовать промежутки монотонности, рассмотрим знак производной $y'(x) = -\frac{4}{x^2} — 1$ . Производная всегда отрицательна для всех $x \neq 0$ , так как $-\frac{4}{x^2}$ всегда отрицательно, а $-1$ добавляет дополнительное отрицательное значение. Это означает, что функция убывает на интервале $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

Ответ:
Функция убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$-2$	$x < 0$	$x > 0$	$2$
$f'(x)$	$—$	$—$	$—$	$—$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$\searrow$	$0$

Задача 3: $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$

а) Область определения:

Для того чтобы функция $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$ была определена, необходимо, чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{x}}$ было корректным. Это возможно, если $x > 0$ , поскольку корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел. Таким образом, область определения функции:

$D(x) = (0; +\infty)$

Ответ:

$D(x) = (0; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$ используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $x$ — это 1.
Производная от $\frac{1}{\sqrt{x}}$ — это $\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2x\sqrt{x}}$ .

Таким образом, производная функции будет:

$y'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ:

$y'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = 0$

Решим это уравнение:

$\frac{1}{2x\sqrt{x}} = -1$

Это уравнение не имеет решения, так как левая часть выражения всегда положительна для $x > 0$ .

Ответ:
Стационарных точек нет.

г) Нули функции:

Нули функции $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$ — это такие точки, где $y = 0$ , то есть:

$x — \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$

Решим это уравнение:

$x = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Умножим обе части на $\sqrt{x}$ (при $x > 0$ ):

$x\sqrt{x} = 1$

Или:

$x\sqrt{x} = 1$

Таким образом, $x = 1$ .

Ответ:
Нули функции: $x = 1$

д) Значения функции:

Для $x = 4$ :

$f(4) = 4 — \frac{1}{\sqrt{4}} = 4 — \frac{1}{2} = 3.5$

Ответ:
Значение функции:

$f(4) = 3.5$

е) Промежутки монотонности:

Поскольку производная $y'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$ всегда положительна для $x > 0$ , то функция возрастает на всей области определения $(0; +\infty)$ .

Ответ:
Функция возрастает на $(0; +\infty)$ .

ж) Таблица свойств функции:

$x$	$x > 0$	$1$
$f'(x)$	$+$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$0$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы