ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 930 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Построить график функции (930—933).

у = 2 + 5х3 — 3х5;
у = 3х5 — 5х3;
у = 4х5 — 5х4;
у = 1 х5/10 — 5×3/6 + 2x.

Краткий ответ:

$1) y = 2 + 5 x^{3} - 3 x^{5}$ ;

а) Область определения:
$D (x) = (- \infty; + \infty);$

б) Производная функции:
$y^{'} (x) = (2)^{'} + 5 \cdot (x^{3})^{'} - 3 \cdot (x^{5})^{'};$
$y^{'} (x) = 0 + 5 \cdot 3 x^{2} - 3 \cdot 5 x^{4} = 15 x^{2} - 15 x^{4};$

в) Стационарные точки:
$15 x^{2} - 15 x^{4} = 0;$
$15 x^{2} \cdot (1 - x^{2}) = 0;$
$15 x^{2} \cdot (1 + x) \cdot (1 - x) = 0;$
$x_{1} = 0, x_{2} = - 1, x_{3} = 1;$

г) Значения функции:
$f (- 1) = 2 + 5 \cdot (- 1)^{3} - 3 \cdot (- 1)^{5} = 2 - 5 + 3 = 0;$
$f (0) = 2 + 5 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{5} = 2;$
$f (1) = 2 + 5 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{5} = 2 + 5 - 3 = 4;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(- 1; 0) \cup (0; 1)$ и убывает на $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ ;
$x = - 1$ — точка минимума и $x = 1$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$		$0$		$2$		$4$

$2) y = 3 x^{5} - 5 x^{3}$ ;

а) Область определения:
$D (x) = (- \infty; + \infty);$

б) Производная функции:
$y^{'} (x) = 3 \cdot (x^{5})^{'} - 5 \cdot (x^{3})^{'};$
$y^{'} (x) = 3 \cdot 5 x^{4} - 5 \cdot 3 x^{2} = 15 x^{4} - 15 x^{2};$

в) Стационарные точки:
$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0;$
$15 x^{2} \cdot (x^{2} - 1) = 0;$
$15 x^{2} \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) = 0;$
$x_{1} = 0, x_{2} = - 1, x_{3} = 1;$

г) Значения функции:
$f (- 1) = 3 \cdot (- 1)^{5} - 5 \cdot (- 1)^{3} = - 3 + 5 = 2;$
$f (0) = 3 \cdot 0^{5} - 5 \cdot 0^{3} = 0;$
$f (1) = 3 \cdot 1^{5} - 5 \cdot 1^{3} = 3 - 5 = - 2;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ и убывает на $(- 1; 0) \cup (0; 1)$ ;
$x = - 1$ — точка минимума и $x = 1$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$		$2$		$0$		$- 2$

$3) y = 4 x^{5} - 5 x^{4}$ ;

а) Область определения:
$D (x) = (- \infty; + \infty);$

б) Производная функции:
$y^{'} (x) = 4 \cdot (x^{5})^{'} - 5 \cdot (x^{4})^{'};$
$y^{'} (x) = 4 \cdot 5 x^{4} - 5 \cdot 4 x^{3} = 20 x^{4} - 20 x^{3};$

в) Стационарные точки:
$20 x^{4} - 20 x^{3} = 0;$
$20 x^{3} \cdot (x - 1) = 0;$
$x_{1} = 0 и x_{2} = 1;$

г) Значения функции:
$f (0) = 4 \cdot 0^{5} - 5 \cdot 0^{4} = 0;$
$f (1) = 4 \cdot 1^{5} - 5 \cdot 1^{4} = 4 - 5 = - 1;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ и убывает на $(0; 1)$ ;
$x = 1$ — точка минимума и $x = 0$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$1 < x < + \infty$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$		$0$		$- 1$

$4) y = \frac{1}{10} x^{5} - \frac{5}{6} x^{3} + 2 x$ ;

а) Область определения:
$D (x) = (- \infty; + \infty);$

б) Производная функции:
$y^{'} (x) = \frac{1}{10} \cdot (x^{5})^{'} - \frac{5}{6} \cdot (x^{3})^{'} + (2 x)^{'};$
$y^{'} (x) = \frac{1}{10} \cdot 5 x^{4} - \frac{5}{6} \cdot 3 x^{2} + 2 = 0.5 x^{4} - 2.5 x^{2} + 2;$

в) Стационарные точки:
$0.5 x^{4} - 2.5 x^{2} + 2 = 0;$
$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0;$
$D = 5^{2} - 4 \cdot 4 = 25 - 16 = 9, тогда:$
$x_{1}^{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 и x_{2}^{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4;$
$(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = 0;$
$(x + 2) (x + 1) (x - 1) (x - 2) = 0;$
$x_{1} = - 2, x_{2} = - 1, x_{3} = 1, x_{4} = 2;$

г) Значения функции:
$f (- 2) = \frac{1}{10} \cdot (- 2)^{5} - \frac{5}{6} \cdot (- 2)^{3} + 2 \cdot (- 2) = - \frac{32}{10} + \frac{40}{6} - 4 = - \frac{8}{15};$
$f (- 1) = \frac{1}{10} \cdot (- 1)^{5} - \frac{5}{6} \cdot (- 1)^{3} + 2 \cdot (- 1) = - \frac{1}{10} + \frac{5}{6} - 2 = - \frac{19}{15};$
$f (1) = \frac{1}{10} \cdot 1^{5} - \frac{5}{6} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{10} - \frac{5}{6} + 2 = \frac{19}{15} = 1 \frac{4}{15};$
$f (2) = \frac{1}{10} \cdot 2^{5} - \frac{5}{6} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 = \frac{32}{10} - \frac{40}{6} + 4 = \frac{8}{15};$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(- \infty; - 2) \cup (- 1; 1) \cup (2; + \infty)$ ;
Убывает на $(-2; -1) \cup (1; 2); \( x = -1$ и $x = 2$ — точки минимума;
$x = - 2$ и $x = 1$ — точки максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 2$	$- 2$	$- 2 < x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 1$	$1$	$1 < x < 2$	$2$	$x > 2$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$		$- \frac{8}{15}$		$- \frac{19}{15}$		$\frac{19}{15}$		$\frac{8}{15}$

Подробный ответ:

Задача 1: $y = 2 + 5 x^{3} - 3 x^{5}$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, а все полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. Следовательно, область определения этой функции будет:

$D (x) = (- \infty; + \infty)$

Ответ:
$D (x) = (- \infty; + \infty)$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = 2 + 5 x^{3} - 3 x^{5}$ . Используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $2$ — это 0.
Производная от $5 x^{3}$ — это $5 \cdot 3 x^{2} = 15 x^{2}$ .
Производная от $- 3 x^{5}$ — это $- 3 \cdot 5 x^{4} = - 15 x^{4}$ .

Таким образом, производная функции $y^{'} (x)$ будет:

$y^{'} (x) = 0 + 15 x^{2} - 15 x^{4} = 15 x^{2} - 15 x^{4}$

Ответ:
$y^{'} (x) = 15 x^{2} - 15 x^{4}$

в) Стационарные точки:

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю:

$15 x^{2} - 15 x^{4} = 0$

Вынесем общий множитель $15 x^{2}$ :

$15 x^{2} (1 - x^{2}) = 0$

Решение этого уравнения:

$15 x^{2} = 0$ , что даёт $x = 0$ .
$1 - x^{2} = 0$ , что даёт $x^{2} = 1$ , а значит $x = \pm 1$ .

Ответ:
Стационарные точки: $x_{1} = 0, x_{2} = - 1, x_{3} = 1$

г) Значения функции:

Теперь подставим значения $x = - 1$ , $x = 0$ , и $x = 1$ в исходную функцию $y = 2 + 5 x^{3} - 3 x^{5}$ , чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = - 1$ :

$f (- 1) = 2 + 5 (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{5} = 2 - 5 + 3 = 0$

Для $x = 0$ :

$f (0) = 2 + 5 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{5} = 2$

Для $x = 1$ :

$f (1) = 2 + 5 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{5} = 2 + 5 - 3 = 4$

Ответ:
Значения функции:

$f (- 1) = 0$
$f (0) = 2$
$f (1) = 4$

д) Промежутки монотонности:

Теперь определим промежутки монотонности. Для этого исследуем знак производной $y^{'} (x) = 15 x^{2} - 15 x^{4}$ .

Для $x \in (- \infty; - 1)$ :
Подставим значение $x = - 2$ :

$y^{'} (- 2) = 15 (- 2)^{2} - 15 (- 2)^{4} = 15 \cdot 4 - 15 \cdot 16 = 60 - 240 = - 180$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(- \infty; - 1)$ .

Для $x \in (- 1; 0)$ :
Подставим значение $x = - 0.5$ :

$y^{'} (- 0.5) = 15 (- 0.5)^{2} - 15 (- 0.5)^{4} = 15 \cdot 0.25 - 15 \cdot 0.0625 = 3.75 - 0.9375 = 2.8125$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(- 1; 0)$ .

Для $x \in (0; 1)$ :
Подставим значение $x = 0.5$ :

$y^{'} (0.5) = 15 (0.5)^{2} - 15 (0.5)^{4} = 15 \cdot 0.25 - 15 \cdot 0.0625 = 3.75 - 0.9375 = 2.8125$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(0; 1)$ .

Для $x \in (1; + \infty)$ :
Подставим значение $x = 2$ :

$y^{'} (2) = 15 (2)^{2} - 15 (2)^{4} = 15 \cdot 4 - 15 \cdot 16 = 60 - 240 = - 180$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(1; + \infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $(- 1; 0) \cup (0; 1)$ ,
Функция убывает на $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ ,
$x = - 1$ — точка минимума,
$x = 1$ — точка максимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$		$0$		$2$		$4$

Задача 2: $y = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

а) Область определения:

Это также полиномиальная функция, и она определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$D (x) = (- \infty; + \infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = 3 x^{5} - 5 x^{3}$ , используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $3 x^{5}$ — это $3 \cdot 5 x^{4} = 15 x^{4}$ ,
Производная от $- 5 x^{3}$ — это $- 5 \cdot 3 x^{2} = - 15 x^{2}$ .

Таким образом, производная функции $y^{'} (x)$ будет:

$y^{'} (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Ответ:
$y^{'} (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Вынесем общий множитель $15 x^{2}$ :

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Решение уравнения:

$x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

Ответ:
Стационарные точки: $x_{1} = 0, x_{2} = - 1, x_{3} = 1$

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = - 1$ , $x = 0$ , и $x = 1$ в исходную функцию $y = 3 x^{5} - 5 x^{3}$ :

Для $x = - 1$ :

$f (- 1) = 3 (- 1)^{5} - 5 (- 1)^{3} = - 3 + 5 = 2$

Для $x = 0$ :

$f (0) = 3 \cdot 0^{5} - 5 \cdot 0^{3} = 0$

Для $x = 1$ :

$f (1) = 3 \cdot 1^{5} - 5 \cdot 1^{3} = 3 - 5 = - 2$

Ответ:
Значения функции:

$f (- 1) = 2$
$f (0) = 0$
$f (1) = - 2$

д) Промежутки монотонности:

Для того чтобы определить промежутки монотонности, исследуем знак производной $y^{'} (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

Для $x \in (- \infty; - 1)$ :
Подставим $x = - 2$ :

$y^{'} (- 2) = 15 (- 2)^{4} - 15 (- 2)^{2} = 15 \cdot 16 - 15 \cdot 4 = 240 - 60 = 180$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(- \infty; - 1)$ .

Для $x \in (- 1; 0)$ :
Подставим $x = - 0.5$ :

$y^{'} (- 0.5) = 15 (- 0.5)^{4} - 15 (- 0.5)^{2} = 15 \cdot 0.0625 - 15 \cdot 0.25 = 0.9375 - 3.75 = - 2.8125$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(- 1; 0)$ .

Для $x \in (0; 1)$ :
Подставим $x = 0.5$ :

$y^{'} (0.5) = 15 (0.5)^{4} - 15 (0.5)^{2} = 15 \cdot 0.0625 - 15 \cdot 0.25 =$

$= 0.9375 - 3.75 = - 2.8125$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(0; 1)$ .

Для $x \in (1; + \infty)$ :
Подставим $x = 2$ :

$y^{'} (2) = 15 (2)^{4} - 15 (2)^{2} = 15 \cdot 16 - 15 \cdot 4 = 240 - 60 = 180$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(1; + \infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ ,
Функция убывает на $(- 1; 0) \cup (0; 1)$ ,
$x = - 1$ — точка минимума,
$x = 1$ — точка максимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$		$2$		$0$		$- 2$

Задача 3: $y = 4 x^{5} - 5 x^{4}$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. Следовательно, область определения этой функции будет:

$D (x) = (- \infty; + \infty)$

Ответ:

$D (x) = (- \infty; + \infty)$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = 4 x^{5} - 5 x^{4}$ . Используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $4 x^{5}$ — это $4 \cdot 5 x^{4} = 20 x^{4}$ ,
Производная от $- 5 x^{4}$ — это $- 5 \cdot 4 x^{3} = - 20 x^{3}$ .

Таким образом, производная функции $y^{'} (x)$ будет:

$y^{'} (x) = 20 x^{4} - 20 x^{3}$

Ответ:

$y^{'} (x) = 20 x^{4} - 20 x^{3}$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$20 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Вынесем общий множитель $20 x^{3}$ :

$20 x^{3} (x - 1) = 0$

Решение уравнения:

$x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0$ $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Ответ:
Стационарные точки: $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 1$

г) Значения функции:

Теперь подставим значения $x = 0$ и $x = 1$ в исходную функцию $y = 4 x^{5} - 5 x^{4}$ , чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = 0$ :

$f (0) = 4 \cdot 0^{5} - 5 \cdot 0^{4} = 0$

Для $x = 1$ :

$f (1) = 4 \cdot 1^{5} - 5 \cdot 1^{4} = 4 - 5 = - 1$

Ответ:
Значения функции:

$f (0) = 0$
$f (1) = - 1$

д) Промежутки монотонности:

Для того чтобы определить промежутки монотонности, исследуем знак производной $y^{'} (x) = 20 x^{4} - 20 x^{3}$ .

Для $x \in (- \infty; 0)$ :
Подставим значение $x = - 1$ :

$y^{'} (- 1) = 20 (- 1)^{4} - 20 (- 1)^{3} = 20 - (- 20) = 20 + 20 = 40$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(- \infty; 0)$ .

Для $x \in (0; 1)$ :
Подставим значение $x = 0.5$ :

$y^{'} (0.5) = 20 (0.5)^{4} - 20 (0.5)^{3} = 20 \cdot 0.0625 - 20 \cdot 0.125 = 1.25 - 2.5 = - 1.25$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(0; 1)$ .

Для $x \in (1; + \infty)$ :
Подставим значение $x = 2$ :

$y^{'} (2) = 20 (2)^{4} - 20 (2)^{3} = 20 \cdot 16 - 20 \cdot 8 = 320 - 160 = 160$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(1; + \infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ ,
Функция убывает на $(0; 1)$ ,
$x = 0$ — точка максимума,
$x = 1$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$		$0$		$- 1$

Задача 4: $y = \frac{1}{10} x^{5} - \frac{5}{6} x^{3} + 2 x$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и она определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$D (x) = (- \infty; + \infty)$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = \frac{1}{10} x^{5} - \frac{5}{6} x^{3} + 2 x$ .

Производная от $\frac{1}{10} x^{5}$ — это $\frac{1}{10} \cdot 5 x^{4} = 0.5 x^{4}$ ,
Производная от $- \frac{5}{6} x^{3}$ — это $- \frac{5}{6} \cdot 3 x^{2} = - 2.5 x^{2}$ ,
Производная от $2 x$ — это просто 2.

Таким образом, производная функции $y^{'} (x)$ будет:

$y^{'} (x) = 0.5 x^{4} - 2.5 x^{2} + 2$

Ответ:

$y^{'} (x) = 0.5 x^{4} - 2.5 x^{2} + 2$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$0.5 x^{4} - 2.5 x^{2} + 2 = 0$

Умножим на 2 для упрощения:

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Решение этого уравнения:

Сделаем замену $u = x^{2}$ , получаем квадратное уравнение:

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Решаем его с помощью формулы дискриминанта:

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$ $u = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$

Получаем два решения:

$u_{1} = 4, u_{2} = 1$

То есть $x^{2} = 4$ или $x^{2} = 1$ . Таким образом, $x = \pm 2$ и $x = \pm 1$ .

Ответ:
Стационарные точки: $x_{1} = - 2, x_{2} = - 1, x_{3} = 1, x_{4} = 2$

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = - 2, - 1, 1, 2$ в исходную функцию $y = \frac{1}{10} x^{5} - \frac{5}{6} x^{3} + 2 x$ :

Для $x = - 2$ :

$f (- 2) = \frac{1}{10} (- 2)^{5} - \frac{5}{6} (- 2)^{3} + 2 (- 2) = - \frac{32}{10} + \frac{40}{6} - 4 = - \frac{8}{15}$

Для $x = - 1$ :

$f (- 1) = \frac{1}{10} (- 1)^{5} - \frac{5}{6} (- 1)^{3} + 2 (- 1) = - \frac{1}{10} + \frac{5}{6} - 2 = - \frac{19}{15}$

Для $x = 1$ :

$f (1) = \frac{1}{10} (1)^{5} - \frac{5}{6} (1)^{3} + 2 (1) = \frac{1}{10} - \frac{5}{6} + 2 = \frac{19}{15} = 1 \frac{4}{15}$

Для $x = 2$ :

$f (2) = \frac{1}{10} (2)^{5} - \frac{5}{6} (2)^{3} + 2 (2) = \frac{32}{10} - \frac{40}{6} + 4 = \frac{8}{15}$

Ответ:
Значения функции:

$f (- 2) = - \frac{8}{15}$
$f (- 1) = - \frac{19}{15}$
$f (1) = \frac{19}{15}$
$f (2) = \frac{8}{15}$

д) Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак производной $y^{'} (x) = 0.5 x^{4} - 2.5 x^{2} + 2$ .

Для $x \in (- \infty; - 2)$ :
Подставим $x = - 3$ :

$y^{'} (- 3) = 0.5 (- 3)^{4} - 2.5 (- 3)^{2} + 2 = 0.5 \cdot 81 - 2.5 \cdot 9 + 2 = 40.5 - 22.5 + 2 = 20$

Это положительное значение, значит функция возрастает на интервале $(- \infty; - 2)$ .

Для $x \in (- 2; - 1)$ :
Подставим $x = - 1.5$ :

$y^{'} (- 1.5) = 0.5 (- 1.5)^{4} - 2.5 (- 1.5)^{2} + 2 = 0.5 \cdot 5.0625 - 2.5 \cdot 2.25 + 2 =$

$= 2.53125 - 5.625 + 2 = - 1.09375$

Это отрицательное значение, значит функция убывает на интервале $(- 2; - 1)$ .

Для $x \in (- 1; 1)$ :
Подставим $x = 0$ :

$y^{'} (0) = 0.5 \cdot 0^{4} - 2.5 \cdot 0^{2} + 2 = 2$

Это положительное значение, значит функция возрастает на интервале $(- 1; 1)$ .

Для $x \in (1; 2)$ :
Подставим $x = 1.5$ :

$y^{'} (1.5) = 0.5 \cdot (1.5)^{4} - 2.5 \cdot (1.5)^{2} + 2 = 0.5 \cdot 5.0625 - 2.5 \cdot 2.25 + 2 =$

$= 2.53125 - 5.625 + 2 = - 1.09375$

Это отрицательное значение, значит функция убывает на интервале $(1; 2)$ .

Для $x \in (2; + \infty)$ :
Подставим $x = 3$ :

$y^{'} (3) = 0.5 \cdot 3^{4} - 2.5 \cdot 3^{2} + 2 = 0.5 \cdot 81 - 2.5 \cdot 9 + 2 = 40.5 - 22.5 + 2 = 20$

Это положительное значение, значит функция возрастает на интервале $(2; + \infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $(- \infty; - 2) \cup (- 1; 1) \cup (2; + \infty)$ ,
Функция убывает на $(- 2; - 1) \cup (1; 2)$ ,
$x = - 1$ и $x = 2$ — точки минимума,
$x = - 2$ и $x = 1$ — точки максимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < - 2$	$- 2$	$- 2 < x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 1$	$1$	$1 < x < 2$	$2$	$x > 2$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$		$- \frac{8}{15}$		$- \frac{19}{15}$		$\frac{19}{15}$		$\frac{8}{15}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы

Общая оценка

4.2 / 5

Комментарии

Другие предметы

Алгебра

10-10 класс