ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 929 Алимов — Подробные Ответы

На рисунке 137 изображён график функции у = g (х), являющейся производной функции у — f (х). Используя график, найти точки экстремума функции у = f (х).

Найдем точки экстремума функции $y = f(x)$, используя график функции $y = g(x)$, являющейся ее производной:

• $x = -6$, $x = 1$ и $x = 6$ — точки минимума;
• $x = -3$ и $x = 4$ — точки максимума

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть функция $y = f(x)$, и мы знаем, что график её производной $y = g(x)$ доступен. Задача состоит в том, чтобы найти точки экстремума (минимума и максимума) функции $f(x)$, используя информацию о графике её производной $g(x)$.

Для нахождения точек экстремума используем следующие теоретические моменты:

1. Точки экстремума функции $f(x)$ — это такие значения $x$, в которых её производная $g(x) = f'(x)$ равна нулю (или не существует).
2. Если на графике производной $g(x)$ функция меняет знак (из положительного в отрицательное или наоборот), то это может означать, что в этой точке функции есть экстремум.

Шаг 2: Условия экстремума

1. Точки минимума: Это точки, в которых производная $g(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный. То есть, если на графике производной значение $g(x)$ переходит из области ниже оси $x$ в область выше оси $x$, то в этой точке $f(x)$ будет локальный минимум.
2. Точки максимума: Это точки, в которых производная $g(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный. Если на графике производной значение $g(x)$ переходит из области выше оси $x$ в область ниже оси $x$, то в этой точке $f(x)$ будет локальный максимум.

Шаг 3: Применение к данной задаче

Итак, согласно условиям задачи:

• Точки минимума: $x = -6$, $x = 1$ и $x = 6$.
• Точки максимума: $x = -3$ и $x = 4$.

Теперь, давайте подробно рассмотрим эти точки, используя график производной $g(x) = f'(x)$:

1. Точки минимума:

• $x = -6$: На графике производной, в точке $x = -6$, $g(x)$ изменяет знак с отрицательного на положительный. Это указывает на наличие локального минимума в точке $x = -6$ функции $f(x)$.
• $x = 1$: В точке $x = 1$ производная $g(x)$ снова меняет знак с отрицательного на положительный, что также говорит о локальном минимуме в точке $x = 1$ функции $f(x)$.
• $x = 6$: В точке $x = 6$ производная $g(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный, что означает наличие локального минимума функции $f(x)$ в точке $x = 6$.

2. Точки максимума:

• $x = -3$: В точке $x = -3$ производная $g(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный, что указывает на локальный максимум в точке $x = -3$ функции $f(x)$.
• $x = 4$: В точке $x = 4$ производная $g(x)$ снова меняет знак с положительного на отрицательный, что означает локальный максимум функции $f(x)$ в точке $x = 4$.

Шаг 4: Подытожим результаты

Мы нашли точки экстремума функции $y = f(x)$ с использованием графика её производной $y = g(x)$:

• Точки минимума: $x = -6$, $x = 1$, $x = 6$.
• Точки максимума: $x = -3$, $x = 4$.