ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 928 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. у = х3 — 3х2 + 2 на отрезке [-1; 3];
2. у = х4 — 10х2 + 9 на отрезке [-3; 3].

$y = x^3 — 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 3]$;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (2)’;$
$y'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x;$

в) Стационарные точки:
$3x^2 — 6x = 0;$
$3x \cdot (x — 2) = 0;$
$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 2;$

г) Значения функции:
$f(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2;$
$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2;$
$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2;$
$f(3) = 3^3 — 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 — 27 + 2 = 2;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-1; 0) \cup (2; 3)$ и убывает на $(0; 2)$;
$x = 2$ — точка минимума и $x = 0$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$y = x^4 — 10x^2 + 9$ на отрезке $[-3; 3]$;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 10 \cdot (x^2)’ + (9)’;$
$y'(x) = 4x^3 — 10 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 20x;$

в) Стационарные точки:
$4x^3 — 20x = 0;$
$4x \cdot (x^2 — 5) = 0;$
$(x + \sqrt{5}) \cdot 4x \cdot (x — \sqrt{5}) = 0;$
$x_1 = -\sqrt{5}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{5};$

г) Значения функции:
$f(\pm 3) = (\pm 3)^4 — 10 \cdot (\pm 3)^2 + 9 = 81 — 10 \cdot 9 + 9 = 0;$
$f(\pm \sqrt{5}) = (\pm \sqrt{5})^4 — 10 \cdot (\pm \sqrt{5})^2 + 9 = 25 — 10 \cdot 5 + 9 = -16;$
$f(0) = 0^4 — 10 \cdot 0^2 + 9 = 9;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(- \sqrt{5}; 0) \cup (\sqrt{5}; 3)$ и убывает на $(-3; -\sqrt{5}) \cup (0; \sqrt{5})$;
$x = \pm \sqrt{5}$ — точки минимума и $x = 0$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

Задача 1: $y = x^3 — 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 3]$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, а полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. То есть, функция существует для всех значений $x$.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x^3 — 3x^2 + 2$, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $(x^3)’ = 3x^2$,
• Производная $(x^2)’ = 2x$,
• Производная от константы $(2)’ = 0$.

Итак, производная функции $y = x^3 — 3x^2 + 2$ будет:

$$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (2)’ = 3x^2 — 6x + 0 = 3x^2 — 6x$$

Ответ:

$$y'(x) = 3x^2 — 6x$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю. То есть, нужно решить уравнение:

$$y'(x) = 3x^2 — 6x = 0$$

Вынесем общий множитель $3x$:

$$3x(x — 2) = 0$$

Решение этого уравнения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = 0$ и $x = 2$ в исходную функцию $y = x^3 — 3x^2 + 2$, чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = -1$:

$$f(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = 3^3 — 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 — 27 + 2 = 2$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-1) = -2$
• $f(0) = 2$
• $f(2) = -2$
• $f(3) = 2$

д) Промежутки монотонности:

Для того чтобы определить промежутки монотонности, необходимо изучить знак производной $y'(x) = 3x^2 — 6x$ на различных интервалах.

Для $x \in (-\infty; 0)$:
Подставим $x = -1$:

$$y'(-1) = 3(-1)^2 — 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$$

Это значит, что на интервале $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

Для $x \in (0; 2)$:
Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = 3(1)^2 — 6(1) = 3 — 6 = -3 < 0$$

Это говорит о том, что на интервале $(0; 2)$ функция убывает.

Для $x \in (2; +\infty)$:
Подставим $x = 3$:

$$y'(3) = 3(3)^2 — 6(3) = 27 — 18 = 9 > 0$$

Это означает, что на интервале $(2; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; 0) \cup (2; 3)$,
• Функция убывает на $(0; 2)$,
• $x = 2$ — точка минимума,
• $x = 0$ — точка максимума.

е) Таблица свойств функции:

Задача 2: $y = x^4 — 10x^2 + 9$ на отрезке $[-3; 3]$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, она определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x^4 — 10x^2 + 9$, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $(x^4)’ = 4x^3$,
• Производная $(x^2)’ = 2x$,
• Производная от константы $(9)’ = 0$.

Итак, производная функции будет:

$$y'(x) = (x^4)’ — 10 \cdot (x^2)’ + (9)’$$ $$y'(x) = 4x^3 — 20x$$

Ответ:

$$y'(x) = 4x^3 — 20x$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю:

$$4x^3 — 20x = 0$$

Вынесем общий множитель $4x$:

$$4x(x^2 — 5) = 0$$

Решение уравнения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{5}$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = 0, x_3 = \sqrt{5}$.

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = -3, -\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}, 3$ в исходную функцию $y = x^4 — 10x^2 + 9$:

Для $x = -3$:

$$f(-3) = (-3)^4 — 10 \cdot (-3)^2 + 9 = 81 — 90 + 9 = 0$$

Для $x = -\sqrt{5}$:

$$f(-\sqrt{5}) = (-\sqrt{5})^4 — 10 \cdot (-\sqrt{5})^2 + 9 = 25 — 50 + 9 = -16$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = 0^4 — 10 \cdot 0^2 + 9 = 9$$

Для $x = \sqrt{5}$:

$$f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 — 10 \cdot (\sqrt{5})^2 + 9 = 25 — 50 + 9 = -16$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = 3^4 — 10 \cdot 3^2 + 9 = 81 — 90 + 9 = 0$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-3) = 0$
• $f(-\sqrt{5}) = -16$
• $f(0) = 9$
• $f(\sqrt{5}) = -16$
• $f(3) = 0$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности нужно исследовать знак производной $y'(x) = 4x^3 — 20x$.

Для $x \in (-\infty; -\sqrt{5})$:
Подставим $x = -3$:

$$y'(-3) = 4(-3)^3 — 20(-3) = -108 + 60 = -48 < 0$$

Функция убывает на интервале $(-\infty; -\sqrt{5})$.

Для $x \in (-\sqrt{5}; 0)$:
Подставим $x = -1$:

$$y'(-1) = 4(-1)^3 — 20(-1) = -4 + 20 = 16 > 0$$

Функция возрастает на интервале $(-\sqrt{5}; 0)$.

Для $x \in (0; \sqrt{5})$:
Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = 4(1)^3 — 20(1) = 4 — 20 = -16 < 0$$

Функция убывает на интервале $(0; \sqrt{5})$.

Для $x \in (\sqrt{5}; +\infty)$:
Подставим $x = 3$:

$$y'(3) = 4(3)^3 — 20(3) = 108 — 60 = 48 > 0$$

Функция возрастает на интервале $(\sqrt{5}; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\sqrt{5}; 0) \cup (\sqrt{5}; 3)$,
• Функция убывает на $(-3; -\sqrt{5}) \cup (0; \sqrt{5})$,
• $x = 0$ — точка максимума,
• $x = \pm \sqrt{5}$ — точки минимума.

е) Таблица свойств функции: