ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 928 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Построить график функции:

у = х3 — 3х2 + 2 на отрезке [-1; 3];
у = х4 — 10х2 + 9 на отрезке [-3; 3].

Краткий ответ:

$y = x^3 — 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 3]$ ;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (2)’;$
$y'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x;$

в) Стационарные точки:
$3x^2 — 6x = 0;$
$3x \cdot (x — 2) = 0;$
$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 2;$

г) Значения функции:
$f(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2;$
$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2;$
$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2;$
$f(3) = 3^3 — 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 — 27 + 2 = 2;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(-1; 0) \cup (2; 3)$ и убывает на $(0; 2)$ ;
$x = 2$ — точка минимума и $x = 0$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$-1$	$-1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 2$	$2$	$2 < x < 3$	$3$
$f'(x)$	$+$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$	$+$
$f(x)$	$-2$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$

$y = x^4 — 10x^2 + 9$ на отрезке $[-3; 3]$ ;

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 10 \cdot (x^2)’ + (9)’;$
$y'(x) = 4x^3 — 10 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 20x;$

в) Стационарные точки:
$4x^3 — 20x = 0;$
$4x \cdot (x^2 — 5) = 0;$
$(x + \sqrt{5}) \cdot 4x \cdot (x — \sqrt{5}) = 0;$
$x_1 = -\sqrt{5}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{5};$

г) Значения функции:
$f(\pm 3) = (\pm 3)^4 — 10 \cdot (\pm 3)^2 + 9 = 81 — 10 \cdot 9 + 9 = 0;$
$f(\pm \sqrt{5}) = (\pm \sqrt{5})^4 — 10 \cdot (\pm \sqrt{5})^2 + 9 = 25 — 10 \cdot 5 + 9 = -16;$
$f(0) = 0^4 — 10 \cdot 0^2 + 9 = 9;$

д) Промежутки монотонности:
Возрастает на $(- \sqrt{5}; 0) \cup (\sqrt{5}; 3)$ и убывает на $(-3; -\sqrt{5}) \cup (0; \sqrt{5})$ ;
$x = \pm \sqrt{5}$ — точки минимума и $x = 0$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

$x$	$-3$	$-3 < x < -\sqrt{5}$	$-\sqrt{5}$	$-\sqrt{5} < x < 0$	$0$	$0 < x < \sqrt{5}$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{5} < x < 3$	$3$
$f'(x)$	$—$	$—$	$0$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$	$+$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-16$	$\nearrow$	$9$	$\searrow$	$-16$	$\nearrow$	$0$

Подробный ответ:

Задача 1: $y = x^3 — 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 3]$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, а полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. То есть, функция существует для всех значений $x$ .

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x^3 — 3x^2 + 2$ , используем стандартные правила дифференцирования:

Производная $(x^3)’ = 3x^2$ ,
Производная $(x^2)’ = 2x$ ,
Производная от константы $(2)’ = 0$ .

Итак, производная функции $y = x^3 — 3x^2 + 2$ будет:

$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (2)’ = 3x^2 — 6x + 0 = 3x^2 — 6x$

Ответ:

$y'(x) = 3x^2 — 6x$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю. То есть, нужно решить уравнение:

$y'(x) = 3x^2 — 6x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ :

$3x(x — 2) = 0$

Решение этого уравнения:

$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$ .

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = 0$ и $x = 2$ в исходную функцию $y = x^3 — 3x^2 + 2$ , чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = -1$ :

$f(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2$

Для $x = 0$ :

$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$

Для $x = 2$ :

$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2$

Для $x = 3$ :

$f(3) = 3^3 — 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 — 27 + 2 = 2$

Ответ:
Значения функции:

$f(-1) = -2$
$f(0) = 2$
$f(2) = -2$
$f(3) = 2$

д) Промежутки монотонности:

Для того чтобы определить промежутки монотонности, необходимо изучить знак производной $y'(x) = 3x^2 — 6x$ на различных интервалах.

Для $x \in (-\infty; 0)$ :
Подставим $x = -1$ :

$y'(-1) = 3(-1)^2 — 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$

Это значит, что на интервале $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

Для $x \in (0; 2)$ :
Подставим $x = 1$ :

$y'(1) = 3(1)^2 — 6(1) = 3 — 6 = -3 < 0$

Это говорит о том, что на интервале $(0; 2)$ функция убывает.

Для $x \in (2; +\infty)$ :
Подставим $x = 3$ :

$y'(3) = 3(3)^2 — 6(3) = 27 — 18 = 9 > 0$

Это означает, что на интервале $(2; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ:

Функция возрастает на $(-\infty; 0) \cup (2; 3)$ ,
Функция убывает на $(0; 2)$ ,
$x = 2$ — точка минимума,
$x = 0$ — точка максимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$-1$	$-1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 2$	$2$	$2 < x < 3$	$3$
$f'(x)$	$+$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$	$+$
$f(x)$	$-2$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$

Задача 2: $y = x^4 — 10x^2 + 9$ на отрезке $[-3; 3]$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, она определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x^4 — 10x^2 + 9$ , используем стандартные правила дифференцирования:

Производная $(x^4)’ = 4x^3$ ,
Производная $(x^2)’ = 2x$ ,
Производная от константы $(9)’ = 0$ .

Итак, производная функции будет:

$y'(x) = (x^4)’ — 10 \cdot (x^2)’ + (9)’$ $y'(x) = 4x^3 — 20x$

Ответ:

$y'(x) = 4x^3 — 20x$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю:

$4x^3 — 20x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ :

$4x(x^2 — 5) = 0$

Решение уравнения:

$x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{5}$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = 0, x_3 = \sqrt{5}$ .

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = -3, -\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}, 3$ в исходную функцию $y = x^4 — 10x^2 + 9$ :

Для $x = -3$ :

$f(-3) = (-3)^4 — 10 \cdot (-3)^2 + 9 = 81 — 90 + 9 = 0$

Для $x = -\sqrt{5}$ :

$f(-\sqrt{5}) = (-\sqrt{5})^4 — 10 \cdot (-\sqrt{5})^2 + 9 = 25 — 50 + 9 = -16$

Для $x = 0$ :

$f(0) = 0^4 — 10 \cdot 0^2 + 9 = 9$

Для $x = \sqrt{5}$ :

$f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 — 10 \cdot (\sqrt{5})^2 + 9 = 25 — 50 + 9 = -16$

Для $x = 3$ :

$f(3) = 3^4 — 10 \cdot 3^2 + 9 = 81 — 90 + 9 = 0$

Ответ:
Значения функции:

$f(-3) = 0$
$f(-\sqrt{5}) = -16$
$f(0) = 9$
$f(\sqrt{5}) = -16$
$f(3) = 0$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности нужно исследовать знак производной $y'(x) = 4x^3 — 20x$ .

Для $x \in (-\infty; -\sqrt{5})$ :
Подставим $x = -3$ :

$y'(-3) = 4(-3)^3 — 20(-3) = -108 + 60 = -48 < 0$

Функция убывает на интервале $(-\infty; -\sqrt{5})$ .

Для $x \in (-\sqrt{5}; 0)$ :
Подставим $x = -1$ :

$y'(-1) = 4(-1)^3 — 20(-1) = -4 + 20 = 16 > 0$

Функция возрастает на интервале $(-\sqrt{5}; 0)$ .

Для $x \in (0; \sqrt{5})$ :
Подставим $x = 1$ :

$y'(1) = 4(1)^3 — 20(1) = 4 — 20 = -16 < 0$

Функция убывает на интервале $(0; \sqrt{5})$ .

Для $x \in (\sqrt{5}; +\infty)$ :
Подставим $x = 3$ :

$y'(3) = 4(3)^3 — 20(3) = 108 — 60 = 48 > 0$

Функция возрастает на интервале $(\sqrt{5}; +\infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на $(-\sqrt{5}; 0) \cup (\sqrt{5}; 3)$ ,
Функция убывает на $(-3; -\sqrt{5}) \cup (0; \sqrt{5})$ ,
$x = 0$ — точка максимума,
$x = \pm \sqrt{5}$ — точки минимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$-3$	$-3 < x < -\sqrt{5}$	$-\sqrt{5}$	$-\sqrt{5} < x < 0$	$0$	$0 < x < \sqrt{5}$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{5} < x < 3$	$3$
$f'(x)$	$—$	$—$	$0$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$	$+$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-16$	$\nearrow$	$9$	$\searrow$	$-16$	$\nearrow$	$0$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы