1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части
Алгебра
10-11 класс учебник Алимов
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.
Год
2015-2024.
Издательство
Просвещение.
Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

  1. Четкая структура материала
    Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
  2. Пошаговые объяснения
    Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
  3. Разнообразие упражнений
    В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
  4. Практическая направленность
    Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
  5. Подготовка к ЕГЭ
    Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 927 Алимов — Подробные Ответы

Задача
  1. у = -х4 + 8х2- 16;
  2. у = х4 — 2х2 + 2;
  3. у = 1 х4/4 — х6;
  4. у = 6×4 — 4×6.
Краткий ответ:

Задача 1: y=x4+8x216y = -x^4 + 8x^2 — 16

а) Область определения:
D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:
y(x)=(x4)+8(x2)(16)y'(x) = -(x^4)’ + 8 \cdot (x^2)’ — (16)’
y(x)=4x3+82x0=4x3+16xy'(x) = -4x^3 + 8 \cdot 2x — 0 = -4x^3 + 16x

в) Стационарные точки:
16x4x3=016x — 4x^3 = 0
4x(4x2)=04x(4 — x^2) = 0
(2+x)4x(2x)=0(2 + x) \cdot 4x \cdot (2 — x) = 0
x1=2,x2=0,x3=2x_1 = -2, \, x_2 = 0, \, x_3 = 2

г) Значения функции:
f(±2)=(±2)4+8(±2)216=16+3216=0f(\pm 2) = -(\pm 2)^4 + 8 \cdot (\pm 2)^2 — 16 = -16 + 32 — 16 = 0
f(0)=04+80216=16f(0) = -0^4 + 8 \cdot 0^2 — 16 = -16

д) Промежутки монотонности:

  • Возрастает на (;2)(0;2)(-\infty; -2) \cup (0; 2)
  • Убывает на (2;0)(2;+)(-2; 0) \cup (2; +\infty)
  • x=0x = 0 — точка минимума
  • x=±2x = \pm 2 — точки максимума

е) Таблица свойств функции:

xxx<2x < -22-22<x<0-2 < x < 0000<x<20 < x < 222x>2x > 2
f(x)f'(x)++0000++00
f(x)f(x)\nearrow00\searrow16-16\nearrow00\searrow

Задача 2: y=x42x2+2y = x^4 — 2x^2 + 2

а) Область определения:
D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:
y(x)=(x4)2(x2)+(2)y'(x) = (x^4)’ — 2 \cdot (x^2)’ + (2)’
y(x)=4x322x+0=4x34xy'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 4x

в) Стационарные точки:
4x(x21)=04x(x^2 — 1) = 0
(x+1)4x(x1)=0(x + 1) \cdot 4x \cdot (x — 1) = 0
x1=1,x2=0,x3=1x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1

г) Значения функции:
f(±1)=(±1)42(±1)2+2=12+2=1f(\pm 1) = (\pm 1)^4 — 2 \cdot (\pm 1)^2 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1
f(0)=04202+2=2f(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 + 2 = 2

д) Промежутки монотонности:

  • Возрастает на (1;0)(1;+)(-1; 0) \cup (1; +\infty)
  • Убывает на (;1)(0;1)(-\infty; -1) \cup (0; 1)
  • x=±1x = \pm 1 — точки минимума
  • x=0x = 0 — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

xxx<1x < -11-11<x<0-1 < x < 0000<x<10 < x < 111x>1x > 1
f(x)f'(x)00++0000++
f(x)f(x)\searrow11\nearrow22\searrow11\nearrow

Задача 3: y=14x4124x6y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{1}{24}x^6

а) Область определения:
D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:
y(x)=14(x4)124(x6)y'(x) = \frac{1}{4} \cdot (x^4)’ — \frac{1}{24} \cdot (x^6)’
y(x)=144x31246x5=x314x5y'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 — \frac{1}{24} \cdot 6x^5 = x^3 — \frac{1}{4}x^5

в) Стационарные точки:
x314x5=0x^3 — \frac{1}{4}x^5 = 0
x3(10.25x2)=0x^3(1 — 0.25x^2) = 0
(1+0.5x)x(10.5x)=0(1 + 0.5x) \cdot x \cdot (1 — 0.5x) = 0
x1=2,x2=0,x3=2x_1 = -2, \, x_2 = 0, \, x_3 = 2

г) Значения функции:
f(±2)=14(±2)4124(±2)6=1646424=483=12383=43=113f(\pm 2) = \frac{1}{4}(\pm 2)^4 — \frac{1}{24}(\pm 2)^6 = \frac{16}{4} — \frac{64}{24} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}
f(0)=140412406=0f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^4 — \frac{1}{24} \cdot 0^6 = 0

д) Промежутки монотонности:

  • Возрастает на (;2)(0;2)(-\infty; -2) \cup (0; 2)
  • Убывает на (2;0)(2;+)(-2; 0) \cup (2; +\infty)
  • x=0x = 0 — точка минимума
  • x=±2x = \pm 2 — точки максимума

е) Таблица свойств функции:

xxx<2x < -22-22<x<0-2 < x < 0000<x<20 < x < 222x>2x > 2
f(x)f'(x)++0000++00
f(x)f(x)\nearrow1131 \frac{1}{3}\searrow00\nearrow1131 \frac{1}{3}\searrow

Задача 4: y=6x44x6y = 6x^4 — 4x^6

а) Область определения:
D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:
y(x)=6(x4)4(x6)y'(x) = 6 \cdot (x^4)’ — 4 \cdot (x^6)’
y(x)=64x346x5=24x324x5y'(x) = 6 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 6x^5 = 24x^3 — 24x^5

в) Стационарные точки:
24x324x5=024x^3 — 24x^5 = 0
24x3(1x2)=024x^3(1 — x^2) = 0
(1+x)x(1x)=0(1 + x) \cdot x \cdot (1 — x) = 0
x1=1,x2=0,x3=1x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1

г) Значения функции:
f(±1)=6(±1)44(±1)6=64=2f(\pm 1) = 6 \cdot (\pm 1)^4 — 4 \cdot (\pm 1)^6 = 6 — 4 = 2
f(0)=604406=0f(0) = 6 \cdot 0^4 — 4 \cdot 0^6 = 0

д) Промежутки монотонности:

  • Возрастает на (;1)(0;1)(-\infty; -1) \cup (0; 1)
  • Убывает на (1;0)(1;+)(-1; 0) \cup (1; +\infty)
  • x=0x = 0 — точка минимума
  • x=±1x = \pm 1 — точки максимума

е) Таблица свойств функции:

xxx1x \leq -11-11<x<0-1 < x < 0000<x<10 < x < 111x>1x > 1
f(x)f'(x)++0000++00
f(x)f(x)\nearrow22\searrow00\nearrow22\searrow

Подробный ответ:

Задача 1: y=x4+8x216y = -x^4 + 8x^2 — 16

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. То есть она существует для всех значений xx.

Ответ:

D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции y=x4+8x216y = -x^4 + 8x^2 — 16, используем стандартные правила дифференцирования:

  1. Производная (x4)=4x3(x^4)’ = 4x^3,
  2. Производная (x2)=2x(x^2)’ = 2x,
  3. Производная от константы (c)=0(c)’ = 0.

Итак, производная функции y=x4+8x216y = -x^4 + 8x^2 — 16 будет:

y(x)=(x4)+8(x2)(16)y'(x) = -(x^4)’ + 8 \cdot (x^2)’ — (16)’ y(x)=4x3+82x0=4x3+16xy'(x) = -4x^3 + 8 \cdot 2x — 0 = -4x^3 + 16x

Ответ:

y(x)=4x3+16xy'(x) = -4x^3 + 16x

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю. То есть нужно решить уравнение:

y(x)=4x3+16x=0y'(x) = -4x^3 + 16x = 0

Вынесем общий множитель:

4x(x24)=0-4x(x^2 — 4) = 0

Решим это уравнение. Первое условие x=0x = 0 и второе x24=0x^2 — 4 = 0, что дает x=±2x = \pm 2.

Ответ:
Стационарные точки: x1=2,x2=0,x3=2x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2.

г) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в найденных стационарных точках.

Для x=2x = -2:

f(2)=(2)4+8(2)216=16+3216=0f(-2) = -(-2)^4 + 8 \cdot (-2)^2 — 16 = -16 + 32 — 16 = 0

Для x=0x = 0:

f(0)=(0)4+8(0)216=16f(0) = -(0)^4 + 8 \cdot (0)^2 — 16 = -16

Для x=2x = 2:

f(2)=(2)4+8(2)216=16+3216=0f(2) = -(2)^4 + 8 \cdot (2)^2 — 16 = -16 + 32 — 16 = 0

Ответ:
Значения функции:

  • f(2)=0f(-2) = 0
  • f(0)=16f(0) = -16
  • f(2)=0f(2) = 0

д) Промежутки монотонности:

Для определения промежутков монотонности нужно исследовать знак производной y(x)=4x3+16xy'(x) = -4x^3 + 16x на различных интервалах.

Для x(;2)x \in (-\infty; -2):
Подставим значение x=3x = -3 в производную:

y(3)=4(3)3+16(3)=4(27)48=10848=60>0y'(-3) = -4(-3)^3 + 16(-3) = -4(-27) — 48 = 108 — 48 = 60 > 0

Это означает, что на интервале (;2)(-\infty; -2) функция возрастает.

Для x(2;0)x \in (-2; 0):
Подставим значение x=1x = -1:

y(1)=4(1)3+16(1)=4(1)16=416=12<0y'(-1) = -4(-1)^3 + 16(-1) = -4(-1) — 16 = 4 — 16 = -12 < 0

Это говорит о том, что на интервале (2;0)(-2; 0) функция убывает.

Для x(0;2)x \in (0; 2):
Подставим значение x=1x = 1:

y(1)=4(1)3+16(1)=4+16=12>0y'(1) = -4(1)^3 + 16(1) = -4 + 16 = 12 > 0

Это значит, что на интервале (0;2)(0; 2) функция возрастает.

Для x(2;+)x \in (2; +\infty):
Подставим значение x=3x = 3:

y(3)=4(3)3+16(3)=4(27)+48=108+48=60<0y'(3) = -4(3)^3 + 16(3) = -4(27) + 48 = -108 + 48 = -60 < 0

Это означает, что на интервале (2;+)(2; +\infty) функция убывает.

Ответ:

  • Функция возрастает на (;2)(0;2)(-\infty; -2) \cup (0; 2),
  • Функция убывает на (2;0)(2;+)(-2; 0) \cup (2; +\infty),
  • x=0x = 0 — точка минимума,
  • x=±2x = \pm 2 — точки максимума.

е) Таблица свойств функции:

xxx<2x < -22-22<x<0-2 < x < 0000<x<20 < x < 222x>2x > 2
f(x)f'(x)++0000++00
f(x)f(x)\nearrow00\searrow16-16\nearrow00\searrow

Задача 2: y=x42x2+2y = x^4 — 2x^2 + 2

а) Область определения:

Это также полиномиальная функция, которая определена на всей числовой прямой.
Ответ:

D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:

Найдем производную функции y=x42x2+2y = x^4 — 2x^2 + 2:

  • Производная (x4)=4x3(x^4)’ = 4x^3,
  • Производная (x2)=2x(x^2)’ = 2x,
  • Производная от константы (2)=0(2)’ = 0.

Таким образом, производная функции будет:

y(x)=(x4)2(x2)+(2)y'(x) = (x^4)’ — 2 \cdot (x^2)’ + (2)’ y(x)=4x322x+0=4x34xy'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 4x

Ответ:

y(x)=4x34xy'(x) = 4x^3 — 4x

в) Стационарные точки:

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

4x34x=04x^3 — 4x = 0

Вынесем общий множитель 4x4x:

4x(x21)=04x(x^2 — 1) = 0

Решение уравнения:

x=0илиx21=0x=±1x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1

Ответ:
Стационарные точки: x1=1,x2=0,x3=1x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1.

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные стационарные точки в исходную функцию y=x42x2+2y = x^4 — 2x^2 + 2:

Для x=1x = -1:

f(1)=(1)42(1)2+2=12+2=1f(-1) = (-1)^4 — 2 \cdot (-1)^2 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1

Для x=0x = 0:

f(0)=04202+2=2f(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 + 2 = 2

Для x=1x = 1:

f(1)=(1)42(1)2+2=12+2=1f(1) = (1)^4 — 2 \cdot (1)^2 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1

Ответ:
Значения функции:

  • f(1)=1f(-1) = 1
  • f(0)=2f(0) = 2
  • f(1)=1f(1) = 1

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности исследуем знак производной y(x)=4x34xy'(x) = 4x^3 — 4x.

Для x(;1)x \in (-\infty; -1):
Подставим значение x=2x = -2:

y(2)=4(2)34(2)=32+8=24<0y'(-2) = 4(-2)^3 — 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0

Функция убывает на интервале (;1)(-\infty; -1).

Для x(1;0)x \in (-1; 0):
Подставим значение x=0.5x = -0.5:

y(0.5)=4(0.5)34(0.5)=1(2)=1>0y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 — 4(-0.5) = -1 — (-2) = 1 > 0

Функция возрастает на интервале (1;0)(-1; 0).

Для x(0;1)x \in (0; 1):
Подставим значение x=0.5x = 0.5:

y(0.5)=4(0.5)34(0.5)=0.52=1.5<0y'(0.5) = 4(0.5)^3 — 4(0.5) = 0.5 — 2 = -1.5 < 0

Функция убывает на интервале (0;1)(0; 1).

Для x(1;+)x \in (1; +\infty):
Подставим значение x=2x = 2:

y(2)=4(2)34(2)=328=24>0y'(2) = 4(2)^3 — 4(2) = 32 — 8 = 24 > 0

Функция возрастает на интервале (1;+)(1; +\infty).

Ответ:

  • Функция возрастает на интервалах (1;0)(1;+)(-1; 0) \cup (1; +\infty),
  • Функция убывает на интервалах (;1)(0;1)(-\infty; -1) \cup (0; 1),
  • x=0x = 0 — точка максимума,
  • x=±1x = \pm 1 — точки минимума.

е) Таблица свойств функции:

xxx<1x < -11-11<x<0-1 < x < 0000<x<10 < x < 111x>1x > 1
f(x)f'(x)00++0000++
f(x)f(x)\searrow11\nearrow22\searrow11\nearrow

Задача 3: y=14x4124x6y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{1}{24}x^6

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. То есть, для всех значений xx функция существует.

Ответ:

D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:

Найдем производную функции y=14x4124x6y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{1}{24}x^6.

  1. Производная 14x4\frac{1}{4}x^4 — это 144x3=x3\frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3,
  2. Производная 124x6\frac{1}{24}x^6 — это 1246x5=14x5\frac{1}{24} \cdot 6x^5 = \frac{1}{4}x^5.

Итак, производная функции будет:

y(x)=x314x5y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5

Ответ:

y(x)=x314x5y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю:

y(x)=x314x5=0y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5 = 0

Вынесем общий множитель x3x^3:

x3(114x2)=0x^3(1 — \frac{1}{4}x^2) = 0

Решим это уравнение. Первое условие x3=0x^3 = 0 дает x=0x = 0, а второе условие 114x2=01 — \frac{1}{4}x^2 = 0 дает:

14x2=1x2=4x=±2\frac{1}{4}x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2

Ответ:
Стационарные точки: x1=2,x2=0,x3=2x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2.

г) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в этих стационарных точках.

Для x=2x = -2:

f(2)=14(2)4124(2)6=1646424=483=12383=43=113f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 — \frac{1}{24}(-2)^6 = \frac{16}{4} — \frac{64}{24} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}

Для x=0x = 0:

f(0)=140412406=0f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^4 — \frac{1}{24} \cdot 0^6 = 0

Для x=2x = 2:

f(2)=14(2)4124(2)6=1646424=483=12383=43=113f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 — \frac{1}{24}(2)^6 = \frac{16}{4} — \frac{64}{24} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}

Ответ:
Значения функции:

  • f(2)=113f(-2) = 1 \frac{1}{3}
  • f(0)=0f(0) = 0
  • f(2)=113f(2) = 1 \frac{1}{3}

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности нужно исследовать знак производной y(x)=x314x5y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5.

Для x(;2)x \in (-\infty; -2):
Подставим x=3x = -3:

y(3)=(3)314(3)5=27+2434=27+60.75=33.75>0y'(-3) = (-3)^3 — \frac{1}{4}(-3)^5 = -27 + \frac{243}{4} = -27 + 60.75 = 33.75 > 0

Функция возрастает на интервале (;2)(-\infty; -2).

Для x(2;0)x \in (-2; 0):
Подставим x=1x = -1:

y(1)=(1)314(1)5=1+14=34<0y'(-1) = (-1)^3 — \frac{1}{4}(-1)^5 = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} < 0

Функция убывает на интервале (2;0)(-2; 0).

Для x(0;2)x \in (0; 2):
Подставим x=1x = 1:

y(1)=(1)314(1)5=114=34>0y'(1) = (1)^3 — \frac{1}{4}(1)^5 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0

Функция возрастает на интервале (0;2)(0; 2).

Для x(2;+)x \in (2; +\infty):
Подставим x=3x = 3:

y(3)=(3)314(3)5=272434=2760.75=33.75<0y'(3) = (3)^3 — \frac{1}{4}(3)^5 = 27 — \frac{243}{4} = 27 — 60.75 = -33.75 < 0

Функция убывает на интервале (2;+)(2; +\infty).

Ответ:

  • Функция возрастает на (;2)(0;2)(-\infty; -2) \cup (0; 2),
  • Функция убывает на (2;0)(2;+)(-2; 0) \cup (2; +\infty),
  • x=0x = 0 — точка минимума,
  • x=±2x = \pm 2 — точки максимума.

е) Таблица свойств функции:

xxx<2x < -22-22<x<0-2 < x < 0000<x<20 < x < 222x>2x > 2
f(x)f'(x)++0000++00
f(x)f(x)\nearrow1131 \frac{1}{3}\searrow00\nearrow1131 \frac{1}{3}\searrow

Задача 4: y=6x44x6y = 6x^4 — 4x^6

а) Область определения:

Полиномиальная функция, которая определена для всех значений xx.

Ответ:

D(x)=(;+)D(x) = (-\infty; +\infty)

б) Производная функции:

Найдем производную функции y=6x44x6y = 6x^4 — 4x^6:

  1. Производная (x4)=4x3(x^4)’ = 4x^3,
  2. Производная (x6)=6x5(x^6)’ = 6x^5.

Тогда производная функции будет:

y(x)=6(x4)4(x6)=64x346x5=24x324x5y'(x) = 6 \cdot (x^4)’ — 4 \cdot (x^6)’ = 6 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 6x^5 = 24x^3 — 24x^5

Ответ:

y(x)=24x324x5y'(x) = 24x^3 — 24x^5

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю:

24x324x5=024x^3 — 24x^5 = 0

Вынесем общий множитель:

24x3(1x2)=024x^3(1 — x^2) = 0

Решим это уравнение. Получаем x=0x = 0, а также 1x2=01 — x^2 = 0, что дает x=±1x = \pm 1.

Ответ:
Стационарные точки: x1=1,x2=0,x3=1x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1.

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения x=1,0,1x = -1, 0, 1 в исходную функцию y=6x44x6y = 6x^4 — 4x^6:

Для x=1x = -1:

f(1)=6(1)44(1)6=64=2f(-1) = 6(-1)^4 — 4(-1)^6 = 6 — 4 = 2

Для x=0x = 0:

f(0)=6(0)44(0)6=0f(0) = 6(0)^4 — 4(0)^6 = 0

Для x=1x = 1:

f(1)=6(1)44(1)6=64=2f(1) = 6(1)^4 — 4(1)^6 = 6 — 4 = 2

Ответ:
Значения функции:

  • f(1)=2f(-1) = 2
  • f(0)=0f(0) = 0
  • f(1)=2f(1) = 2

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности нужно исследовать знак производной y(x)=24x324x5y'(x) = 24x^3 — 24x^5.

Для x(;1)x \in (-\infty; -1):
Подставим x=2x = -2:

y(2)=24(2)324(2)5=192+768=576>0y'(-2) = 24(-2)^3 — 24(-2)^5 = -192 + 768 = 576 > 0

Функция возрастает на интервале (;1)(-\infty; -1).

Для x(1;0)x \in (-1; 0):
Подставим x=0.5x = -0.5:

y(0.5)=24(0.5)324(0.5)5=3(3)=0y'(-0.5) = 24(-0.5)^3 — 24(-0.5)^5 = -3 — (-3) = 0

Функция убывает на интервале (1;0)(-1; 0).

Для x(0;1)x \in (0; 1):
Подставим x=0.5x = 0.5:

y(0.5)=24(0.5)324(0.5)5=30.75=2.25>0y'(0.5) = 24(0.5)^3 — 24(0.5)^5 = 3 — 0.75 = 2.25 > 0

Функция возрастает на интервале (0;1)(0; 1).

Для x(1;+)x \in (1; +\infty):
Подставим x=2x = 2:

y(2)=24(2)324(2)5=192768=576<0y'(2) = 24(2)^3 — 24(2)^5 = 192 — 768 = -576 < 0

Функция убывает на интервале (1;+)(1; +\infty).

Ответ:

  • Функция возрастает на (;1)(0;1)(-\infty; -1) \cup (0; 1),
  • Функция убывает на (1;0)(1;+)(-1; 0) \cup (1; +\infty),
  • x=0x = 0 — точка минимума,
  • x=±1x = \pm 1 — точки максимума.

е) Таблица свойств функции:

xxx1x \leq -11-11<x<0-1 < x < 0000<x<10 < x < 111x>1x > 1
f(x)f'(x)++0000++00
f(x)f(x)\nearrow22\searrow00\nearrow22\searrow


Задачи для внеклассной работы
Общая оценка
4.2 / 5
Комментарии
Другие предметы
Алгебра
10-10 класс