ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 926 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Построить график функции (926—927).

у = х3 — 3х2 + 4;
у = 2 + 3х — х3;
у = -х3 + 4х2 — 4х;
у = х3 + 6х2 + 9х.

Краткий ответ:

1) $y = x^3 — 3x^2 + 4$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (4)’$
$y'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x$

в) Стационарные точки:
$3x^2 — 6x = 0$
$3x \cdot (x — 2) = 0$
$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2$

г) Значения функции:
$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 — 12 + 4 = 0$
$f(0) = 0^2 — 3 \cdot 0^2 + 4 = 4$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$
Убывает на $(0; 2)$
$x = 2$ — точка минимума
$x = 0$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 2$	$2$	$x > 2$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

2) $y = 2 + 3x — x^3$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (2)’ + (3x)’ — (x^3)’$
$y'(x) = 0 + 3 — 3x^2 = 3 — 3x^2$

в) Стационарные точки:
$3 — 3x^2 = 0$
$1 — x^2 = 0$
$(1 — x)(1 + x) = 0$
$x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1$

г) Значения функции:
$f(-1) = 2 + 3 \cdot (-1) — (-1)^3 = 2 — 3 + 1 = 0$
$f(1) = 2 + 3 \cdot 1 — 1^3 = 2 + 3 — 1 = 4$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(-1; 1)$
Убывает на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
$x = -1$ — точка минимума
$x = 1$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -1$	$-1$	$-1 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f'(x)$	$—$	$0$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$

3) $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = -(x^3)’ + 4 \cdot (x^2)’ — (4x)’$
$y'(x) = -3x^2 + 4 \cdot 2x — 4 = -3x^2 + 8x — 4$

в) Стационарные точки:
$-3x^2 + 8x — 4 = 0$
$D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 — 48 = 16$
Тогда:
$x_1 = \frac{-8 + 4}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-8 — 4}{2 \cdot (-3)} = \frac{-12}{-6} = 2$
$-(x — \frac{2}{3})(x — 2) = 0$

г) Значения функции:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 — 4 \cdot \frac{2}{3}$
$= -\frac{8}{27} + \frac{16}{9} — \frac{8}{3} = -\frac{8}{27} + \frac{48}{27} — \frac{72}{27} = -\frac{32}{27} = -1 \frac{5}{27}$
$f(2) = -2^3 + 4 \cdot 2^2 — 4 \cdot 2 = -8 + 16 — 8 = 0$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $\left(\frac{2}{3}; 2\right)$
Убывает на $\left(-\infty; \frac{2}{3}\right) \cup (2; +\infty)$
$x = \frac{2}{3}$ — точка минимума
$x = 2$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3} < x < 2$	$2$	$x > 2$
$f'(x)$	$—$	$0$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$\searrow$	$-1 \frac{5}{27}$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ + 6 \cdot (x^2)’ + (9x)’$
$y'(x) = 3x^2 + 6 \cdot 2x + 9 = 3x^2 + 12x + 9$

в) Стационарные точки:
$3x^2 + 12x + 9 = 0$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$
Тогда:
$x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$
$(x + 3)(x + 1) = 0$

г) Значения функции:
$f(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3)$
$= -27 + 54 — 27 = 0$
$f(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1)$
$= -1 + 6 — 9 = -4$

д) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$
Убывает на $(-3; -1)$
$x = -1$ — точка минимума
$x = -3$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -3$	$-3$	$-3 < x < -1$	$-1$	$x > -1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$

Подробный ответ:

1) $y = x^3 — 3x^2 + 4$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. Значит, область определения данной функции:

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

Производная $x^3$ равна $3x^2$ ,
Производная $x^2$ равна $2x$ ,
Производная константы (в данном случае 4) равна 0.

Тогда производная функции $y = x^3 — 3x^2 + 4$ будет:

$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (4)’ = 3x^2 — 6x + 0 = 3x^2 — 6x$

Ответ:

$y'(x) = 3x^2 — 6x$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю. То есть нужно решить уравнение:

$y'(x) = 3x^2 — 6x = 0$

Вынесем общий множитель:

$3x(x — 2) = 0$

Решение этого уравнения:

$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$ .

г) Значения функции в стационарных точках:

Теперь подставим значения $x = 0$ и $x = 2$ в исходную функцию $y = x^3 — 3x^2 + 4$ , чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = 0$ :

$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 4 = 4$

Для $x = 2$ :

$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 — 12 + 4 = 0$

Ответ:
Значения функции:

$f(0) = 4$
$f(2) = 0$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает, нужно исследовать знак производной $y'(x) = 3x^2 — 6x$ .

Для $x \in (-\infty; 0)$ :
Подставим значение $x = -1$ в производную:

$y'(-1) = 3(-1)^2 — 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$

Это значит, что на интервале $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

Для $x \in (0; 2)$ :
Подставим значение $x = 1$ в производную:

$y'(1) = 3(1)^2 — 6(1) = 3 — 6 = -3 < 0$

Это говорит о том, что на интервале $(0; 2)$ функция убывает.

Для $x \in (2; +\infty)$ :
Подставим значение $x = 3$ в производную:

$y'(3) = 3(3)^2 — 6(3) = 27 — 18 = 9 > 0$

Это значит, что на интервале $(2; +\infty)$ функция снова возрастает.

Ответ:

Функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$ .
Функция убывает на интервале $(0; 2)$ .
$x = 0$ — точка максимума.
$x = 2$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 2$	$2$	$x > 2$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

2) $y = 2 + 3x — x^3$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой.
Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = 2 + 3x — x^3$ :

Производная $2$ равна 0,
Производная $3x$ равна 3,
Производная $x^3$ равна $3x^2$ .

Таким образом:

$y'(x) = 0 + 3 — 3x^2 = 3 — 3x^2$

Ответ:

$y'(x) = 3 — 3x^2$

в) Стационарные точки:

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$3 — 3x^2 = 0$ $1 — x^2 = 0$ $(1 — x)(1 + x) = 0$

Таким образом, получаем два значения:

$x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$ .

г) Значения функции в стационарных точках:

Теперь подставим $x = -1$ и $x = 1$ в исходную функцию $y = 2 + 3x — x^3$ , чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = -1$ :

$f(-1) = 2 + 3(-1) — (-1)^3 = 2 — 3 + 1 = 0$

Для $x = 1$ :

$f(1) = 2 + 3(1) — (1)^3 = 2 + 3 — 1 = 4$

Ответ:
Значения функции:

$f(-1) = 0$
$f(1) = 4$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности исследуем знак производной $y'(x) = 3 — 3x^2$ .

Для $x \in (-\infty; -1)$ :
Подставим $x = -2$ :

$y'(-2) = 3 — 3(-2)^2 = 3 — 12 = -9 < 0$

Это значит, что функция убывает на интервале $(-\infty; -1)$ .

Для $x \in (-1; 1)$ :
Подставим $x = 0$ :

$y'(0) = 3 — 3(0)^2 = 3 > 0$

Это говорит о том, что функция возрастает на интервале $(-1; 1)$ .

Для $x \in (1; +\infty)$ :
Подставим $x = 2$ :

$y'(2) = 3 — 3(2)^2 = 3 — 12 = -9 < 0$

Это значит, что функция убывает на интервале $(1; +\infty)$ .

Ответ:

Функция возрастает на интервале $(-1; 1)$ .
Функция убывает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$ .
$x = -1$ — точка минимума.
$x = 1$ — точка максимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -1$	$-1$	$-1 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f'(x)$	$—$	$0$	$+$	$0$	$—$
$f(x)$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$

3) $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$

а) Область определения:

Полиномиальная функция определена на всей числовой прямой.
Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$ :

$y'(x) = -(x^3)’ + 4 \cdot (x^2)’ — (4x)’ = -3x^2 + 8x — 4$

Ответ:

$y'(x) = -3x^2 + 8x — 4$

в) Стационарные точки:

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$-3x^2 + 8x — 4 = 0$

Решаем это квадратное уравнение:

$D = 8^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 64 — 48 = 16$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{-6} = 2$ $x_2 = \frac{-8 — \sqrt{16}}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 2$ , $x_2 = 2$ .

г) Значения функции в стационарных точках:

Для того, чтобы найти значения функции в стационарных точках, подставим найденные значения $x = 2$ в исходную функцию $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$ .

Подставим $x = 2$ :

$f(2) = -(2)^3 + 4 \cdot (2)^2 — 4 \cdot (2) = -8 + 16 — 8 = 0$

Ответ:
Значение функции в точке $x = 2$ :

$f(2) = 0$

д) Промежутки монотонности:

Теперь, чтобы определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает, нужно исследовать знак производной $y'(x) = -3x^2 + 8x — 4$ . Мы будем использовать метод анализа знаков производной на разных интервалах.

Для $x \in (-\infty; 2)$ :
Подставим значение $x = 0$ в производную:

$y'(0) = -3(0)^2 + 8(0) — 4 = -4 < 0$

Это значит, что на интервале $(-\infty; 2)$ функция убывает.

Для $x \in (2; +\infty)$ :
Подставим значение $x = 3$ в производную:

$y'(3) = -3(3)^2 + 8(3) — 4 = -27 + 24 — 4 = -7 < 0$

Это означает, что на интервале $(2; +\infty)$ функция продолжает убывать.

Таким образом, на интервале $(-\infty; 2)$ и на интервале $(2; +\infty)$ функция убывает. Точка $x = 2$ — это точка экстремума (точка минимума, так как функция убывает с обеих сторон).

Ответ:

Функция убывает на $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$ .
$x = 2$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

Теперь мы можем составить таблицу свойств функции $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$ , основываясь на результатах анализа производной и значений функции.

$x$	$x < 2$	$2$	$x > 2$
$f'(x)$	$—$	$0$	$—$
$f(x)$	$\searrow$	$0$	$\searrow$

Ответ:

На интервале $(-\infty; 2)$ функция убывает (обозначено как $\searrow$ ).
В точке $x = 2$ функция принимает значение 0.
На интервале $(2; +\infty)$ функция также убывает (обозначено как $\searrow$ ).

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой.
Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:

Теперь найдем производную функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ . Мы используем стандартные правила дифференцирования:

Производная $x^3$ равна $3x^2$ ,
Производная $6x^2$ равна $12x$ ,
Производная $9x$ равна 9.

Таким образом, производная функции будет:

$y'(x) = (x^3)’ + 6 \cdot (x^2)’ + (9x)’ = 3x^2 + 12x + 9$

Ответ:

$y'(x) = 3x^2 + 12x + 9$

в) Стационарные точки:

Теперь найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 + 12x + 9 = 0$

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить решение:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$

Теперь находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{4}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = -1$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$ .

г) Значения функции в стационарных точках:

Теперь подставим $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$ в исходную функцию $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ , чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = -3$ :

$f(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) = -27 + 54 — 27 = 0$

Для $x = -1$ :

$f(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) = -1 + 6 — 9 = -4$

Ответ:
Значения функции:

$f(-3) = 0$
$f(-1) = -4$

д) Промежутки монотонности:

Теперь определим, на каких интервалах функция возрастает или убывает, исследуя знак производной $y'(x) = 3x^2 + 12x + 9$ .

Для $x \in (-\infty; -3)$ :
Подставим значение $x = -4$ :

$y'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 48 — 48 + 9 = 9 > 0$

Это значит, что на интервале $(-\infty; -3)$ функция возрастает.

Для $x \in (-3; -1)$ :
Подставим значение $x = -2$ :

$y'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 12 — 24 + 9 = -3 < 0$

Это значит, что на интервале $(-3; -1)$ функция убывает.

Для $x \in (-1; +\infty)$ :
Подставим значение $x = 0$ :

$y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 9 = 9 > 0$

Это значит, что на интервале $(-1; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ:

Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -3)$ и $(-1; +\infty)$ .
Функция убывает на интервале $(-3; -1)$ .
$x = -3$ — точка максимума.
$x = -1$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

$x$	$x < -3$	$-3$	$-3 < x < -1$	$-1$	$x > -1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$—$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы

Общая оценка

4.9 / 5

Комментарии

Другие предметы

Алгебра

10-10 класс

10