ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 925 Алимов — Подробные Ответы

На отрезке [0; 6] изобразить эскиз графика непрерывной функции у = f(х), пользуясь данными, приведёнными в таблице. Учесть, что f (2) = 0, f (5) = 0.

Эскиз графика непрерывной функции, определенной на отрезке $[0; 6]$:

А также $f(2) = 0$, $f(5) = 0$;

Нам нужно проанализировать график функции $f(x)$, которая определена на отрезке $[0; 6]$, и которая обладает следующим поведением:

• График функции представлен таблицей, в которой указаны производные функции $f'(x)$ и значения самой функции $f(x)$ на разных интервалах.
• Также даны точки, в которых функция принимает конкретные значения: $f(2) = 0$ и $f(5) = 0$.

Структура таблицы:

Анализ таблицы:

1. Интервал $[0; 1]$:

• На этом интервале: $f'(x) = +$. Это значит, что производная функции положительна, а следовательно, сама функция $f(x)$ на этом участке возрастает.
• Значение $f(0) = 0$, а функция возрастает, значит график будет подниматься вверх.
• На интервале $(0 < x < 1)$ функция монотонно увеличивается.

2. Точка $x = 1$:

• В точке $x = 1$ значение производной $f'(1) = 0$, что говорит о том, что функция на этой точке достигает локального экстремума.
• Кроме того, нам дается, что $f(1) = 2$. Это указывает на то, что в точке $x = 1$ график функции достигает максимума на данном интервале (так как на интервале $0 < x < 1$ функция возрастала).

3. Интервал $(1 < x < 4)$:

• На этом интервале: $f'(x) = —$. Это означает, что производная функции отрицательна, и следовательно, сама функция $f(x)$ на данном интервале убывает.
• Значение $f(1) = 2$ при $x = 1$, и функция начинает убывать. Таким образом, график будет опускаться.
• Точка $x = 2$ является особой, так как нам дано, что $f(2) = 0$. Это означает, что на интервале $(1, 4)$ функция проходит через точку $(2, 0)$.

4. Точка $x = 4$:

• В точке $x = 4$ снова $f'(4) = 0$, что говорит о том, что функция снова достигает экстремума.
• Кроме того, $f(4) = -2$, что означает, что функция принимает минимальное значение на интервале $(1, 4)$. Это будет точка локального минимума.

5. Интервал $(4 < x < 6)$:

• На этом интервале: $f'(x) = +$, что означает, что производная функции положительна, а следовательно, функция $f(x)$ на этом интервале возрастает.
• Значение $f(4) = -2$, и функция начинает увеличиваться, поднимаясь вверх.
• Точка $f(5) = 0$ сообщает, что функция пересекает ось абсцисс в точке $x = 5$. Таким образом, на интервале $(4, 6)$ функция снова возрастает.

6. Точка $x = 6$:

• В точке $x = 6$ мы видим, что функция достигает значения $f(6) = 3$.
• Производная в точке $x = 6$ отсутствует в таблице, но поскольку на интервале $(4 < x < 6)$ функция возрастала, можно предположить, что функция продолжает увеличиваться.

Подробное описание графика:

Начало графика:

• На интервале от $x = 0$ до $x = 1$ функция начинает с $f(0) = 0$ и возрастает.
• К точке $x = 1$ функция достигает максимума и принимает значение $f(1) = 2$.

Понижение на интервале $(1, 4)$:

• На интервале $(1, 4)$ функция начинает убывать, проходя через точку $x = 2$, где $f(2) = 0$, и достигает минимума в точке $x = 4$, где $f(4) = -2$.

Повышение на интервале $(4, 6)$:

• После точки $x = 4$ функция начинает снова возрастать. На интервале $(4, 6)$ она поднимется, проходя через точку $f(5) = 0$, и достигнет значения $f(6) = 3$.

Выводы:

• Функция $f(x)$ на отрезке $[0, 6]$ состоит из трёх фаз: возрастания на интервале $[0, 1]$, убывания на интервале $(1, 4)$, и снова возрастания на интервале $(4, 6)$.
• Важные точки: $f(0) = 0$, $f(1) = 2$, $f(2) = 0$, $f(4) = -2$, $f(5) = 0$, $f(6) = 3$.
• Производная $f'(x)$ меняет знак на разных интервалах, что указывает на экстремумы функции в точках $x = 1$ и $x = 4$, а также на изменение направления возрастания и убывания функции.