ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 922 Алимов — Подробные Ответы

Исследовать на экстремум функцию у = (х + 1)n е^-х, где n — натуральное число.

$y = (x + 1)^n \cdot e^{-x}$, где $n$ — натуральное число;

$y'(x) = (x + 1)^n \cdot e^{-x} + (x + 1)^n \cdot (e^{-x})’;$

$y'(x) = n \cdot (x + 1)^{n-1} \cdot e^{-x} — (x + 1)^n \cdot e^{-x};$

$y'(x) = e^{-x} \cdot (x + 1)^{n-1} \cdot (n — x — 1);$

$y'(x) = e^{-x} \cdot (x + 1)^{n-1} \cdot (n — x — 1);$

Промежуток возрастания:

$(x + 1)^{n-1} \cdot (n — x — 1) > 0;$

$(x + 1)^{n-1} \cdot (x — n + 1) < 0;$

$-1 < x < n — 1;$

Если $n$ — нечетное число:

$x = n — 1$ — точка максимума;

Если $n$ — четное число:

$x = -1$ — точка минимума;

$x = n — 1$ — точка максимума

1. Исходная функция:

Нам дана функция:

$$y = (x + 1)^n \cdot e^{-x}$$

где $n$ — натуральное число. Это произведение двух функций: $(x + 1)^n$ и $e^{-x}$.

2. Нахождение производной:

Для нахождения производной функции $y$ используем правило произведения. Правило произведения для двух функций $u(x)$ и $v(x)$ гласит, что:

$$(u(x) \cdot v(x))’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = (x + 1)^n$ и $v(x) = e^{-x}$. Применим это правило к нашей функции.

2.1. Производная от первой части: $(x + 1)^n$

Для нахождения производной от $(x + 1)^n$ используем стандартное правило дифференцирования степени. Производная от $(x + 1)^n$ будет:

$$\frac{d}{dx} \left( (x + 1)^n \right) = n \cdot (x + 1)^{n-1}$$

2.2. Производная от второй части: $e^{-x}$

Для нахождения производной от $e^{-x}$ применяем стандартную формулу производной от экспоненциальной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{-x} \right) = -e^{-x}$$

2.3. Применение правила произведения:

Теперь, используя правило произведения, находим производную функции $y$:

$$y'(x) = \left( (x + 1)^n \right)’ \cdot e^{-x} + (x + 1)^n \cdot \left( e^{-x} \right)’$$

Подставим производные:

$$y'(x) = n \cdot (x + 1)^{n-1} \cdot e^{-x} — (x + 1)^n \cdot e^{-x}$$

3. Упрощение производной:

Теперь упростим выражение. Вынесем общий множитель $e^{-x}$ за скобки:

$$y'(x) = e^{-x} \cdot \left( n \cdot (x + 1)^{n-1} — (x + 1)^n \right)$$

Далее можно вынести $(x + 1)^{n-1}$ как общий множитель из выражения в скобках:

$$y'(x) = e^{-x} \cdot (x + 1)^{n-1} \cdot \left( n — (x + 1) \right)$$

Упростим выражение внутри скобок:

$$n — (x + 1) = n — x — 1$$

Таким образом, получаем окончательную форму производной:

$$y'(x) = e^{-x} \cdot (x + 1)^{n-1} \cdot (n — x — 1)$$

4. Исследование функции $y'(x)$:

Для того чтобы исследовать поведение функции $y(x)$, нужно понять, при каких значениях $x$ её производная $y'(x)$ будет положительной или отрицательной. Это поможет найти интервалы возрастания и убывания функции.

4.1. Условие для возрастания функции:

Функция $y(x)$ будет возрастать на тех интервалах, где её производная $y'(x) > 0$.

Поскольку $e^{-x}$ и $(x + 1)^{n-1}$ всегда положительны для всех $x > -1$ (при $n$ — натуральном числе), нам нужно, чтобы выражение внутри скобок было положительным:

$$(n — x — 1) > 0$$

Решим это неравенство:

$$n — x — 1 > 0$$ $$x < n — 1$$

Таким образом, функция возрастает на интервале:

$$-1 < x < n — 1$$

4.2. Условие для убывания функции:

Для того чтобы функция $y(x)$ убывала, её производная должна быть отрицательной:

$$(n — x — 1) < 0$$

Решим это неравенство:

$$n — x — 1 < 0$$ $$x > n — 1$$

Таким образом, функция убывает на интервале:

$$x > n — 1$$

5. Поведение функции в зависимости от четности $n$:

Теперь рассмотрим, как изменяется поведение функции в зависимости от того, является ли $n$ четным или нечетным числом.

5.1. Если $n$ — нечетное число:

Когда $n$ нечетное, точка $x = n — 1$ будет точкой максимума функции, так как функция возрастает до этой точки и убывает после неё. Таким образом, точка $x = n — 1$ — это локальный максимум.

5.2. Если $n$ — четное число:

Когда $n$ четное, точка $x = -1$ будет точкой минимума функции, так как функция будет убывать до этой точки и возрастать после неё. Точка $x = n — 1$ в этом случае остаётся точкой максимума.

Заключение:

1. Производная функции $y = (x + 1)^n \cdot e^{-x}$ вычислена как:

$$y'(x) = e^{-x} \cdot (x + 1)^{n-1} \cdot (n — x — 1)$$

2. Функция возрастает на интервале $-1 < x < n — 1$ и убывает на интервале $x > n — 1$.

3. Поведение функции в зависимости от четности $n$:

• Если $n$ нечетное, точка $x = n — 1$ — это точка максимума.
• Если $n$ четное, точка $x = -1$ — это точка минимума, а точка $x = n — 1$ — точка максимума.