ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 920 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1. y=(2-x)3/(3-x)2;
2. y=(x3+2×2)/(x-1)2;
3. y= (x-1)e3x;
4. y=sin+1 sin2x/2;
5. y=e^корень (3-x2);
6. y= корень (ex-x).

Задача 1:

$y = \frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$

$$y'(x) = \frac{(2-x)^3 \cdot (3-x)^2 — (2-x)^3 \cdot (3-x)^2}{((3-x)^2)^2}$$ $$y'(x) = \frac{-3(2-x)^2 \cdot (3-x)^2 + (2-x)^3 \cdot 2(3-x)}{(3-x)^4}$$ $$y'(x) = \frac{(2-x)^2 \cdot (3-x) \cdot (2(2-x) — 3(3-x))}{(3-x)^4}$$ $$y'(x) = \frac{(2-x)^2 \cdot (3-x) \cdot (4-2x-9+3x)}{(3-x)^4}$$ $$y'(x) = \frac{(2-x)^2 \cdot (3-x) \cdot (x-5)}{(3-x)^4}$$

Промежуток возрастания:

$$(3-x)(x-5) > 0$$ $$(x-3)(x-5) < 0$$ $$3 < x < 5$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — x \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 3$$

Значения функции:

$$y(5) = \frac{(2-5)^3}{(3-5)^2} = \frac{(-3)^3}{(-2)^2} = \frac{-27}{4}$$

Ответ: $x = 5$ — точка максимума, $y(5) = -\frac{27}{4}$.

Задача 2:

$y = \frac{x^3 + 2x^2}{(x-1)^2}$

$$y'(x) = \frac{(x^3 + 2x^2) \cdot (x-1)^2 — (x^3 + 2x^2) \cdot (x-1)^2}{((x-1)^2)^2}$$ $$y'(x) = \frac{(3x^2 + 4x) \cdot (x-1)^2 — (x^3 + 2x^2) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$$ $$y'(x) = \frac{(x-1) \cdot x \cdot (x^2 — 3x — 4)}{(x-1)^4}$$

Разложим на множители:

$$x^2 — 3x — 4 = 0$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{3-5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3+5}{2} = 4$$ $$(x+1)(x-4) = 0$$

Получим выражение:

$$y'(x) = \frac{(x-1) \cdot x \cdot (x+1)(x-4)}{(x-1)^4}$$

Промежуток возрастания:

$$(x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-4) > 0$$ $$x < -1, \; 0 < x < 1 \; \text{или} \; x > 4$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 1 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq 1$$

Значения функции:

$$y(-1) = \frac{(-1)^3 + 2(-1)^2}{(-1-1)^2} = \frac{-1 + 2}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$$ $$y(0) = \frac{0^3 + 2 \cdot 0^2}{(0-1)^2} = \frac{0}{(-1)^2} = 0$$ $$y(4) = \frac{4^3 + 2 \cdot 4^2}{(4-1)^2} = \frac{64 + 2 \cdot 16}{3^2} = \frac{64 + 32}{9} = \frac{96}{9} = \frac{32}{3}$$

Ответ: $x = 0$ — точка минимума, $y(0) = 0$; $x = 4$ — точка минимума, $y(4) = 10 \frac{2}{3}$; $x = -1$ — точка максимума, $y(-1) = 0.25$.

Задача 3:

$y = (x-1) \cdot e^{3x}$

$$y'(x) = 1 \cdot e^{3x} + (x-1) \cdot 3e^{3x}$$ $$y'(x) = e^{3x} \cdot (1 + 3(x-1))$$ $$y'(x) = e^{3x} \cdot (1 + 3x — 3)$$ $$y'(x) = e^{3x} \cdot (3x — 2)$$

Промежуток возрастания:

$$3x — 2 > 0$$ $$3x > 2, \text{ отсюда } x > \frac{2}{3}$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} — 1\right) \cdot e^2 = -\frac{e^2}{3}$$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$ — точка минимума, $y\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{e^2}{3}$.

Задача 4:

$y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$

$$y'(x) = (\sin x)’ + \frac{1}{2} \cdot (\sin 2x)’$$ $$y'(x) = \cos x + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x = \cos x + \cos 2x = \cos x + \cos^2 x — \sin^2 x$$ $$y'(x) = \cos x + \cos^2 x — 1 + \cos^2 x = 2 \cos^2 x + \cos x — 1$$

Промежуток возрастания:

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 > 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{-1-3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1+3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$ $$(y+1)(y-0.5) > 0$$ $$y < -1 \; \text{или} \; y > 0.5$$

Первое неравенство:

$$\cos x < -1 \quad \text{— нет корней;}$$

Второе неравенство:

$$\cos x > \frac{1}{2}$$ $$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < x < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ $$y\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — точка минимума, $y\left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — точка максимума, $y\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Задача 5:

$y = e^{\sqrt{3-x^2}}$

Пусть $u = \sqrt{3-x^2}$, тогда $y(u) = e^u$;

$$y'(x) = (3-x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (e^u)’$$ $$y'(x) = -2x \cdot (3-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^u = -\frac{2x}{\sqrt{3-x^2}} \cdot e^{\sqrt{3-x^2}}$$

Промежуток возрастания:

$$-2x > 0, \text{ отсюда } x < 0$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — x^2 \geq 0$$ $$x^2 \leq 3$$ $$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$$

Значения функции:

$$y(0) = e^{\sqrt{3-0^2}} = e^{\sqrt{3}}$$

Ответ: $x = 0$ — точка максимума, $y(0) = e^{\sqrt{3}}$.

Задача 6:

$y = \sqrt{e^x — x}$

Пусть $u = e^x — x$, тогда $y(u) = \sqrt{u}$;

$$y'(x) = (e^x — x)’ \cdot (\sqrt{u})’ = (e^x — 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{e^x — 1}{2\sqrt{e^x — x}}$$

Промежуток возрастания:

$$e^x — 1 > 0$$ $$e^x > 1$$ $$e^x \leq e^0, \text{ отсюда } x > 0$$

Значения функции:

$$y(0) = \sqrt{e^0 — 0} = \sqrt{1 — 0} = 1$$

Ответ: $x = 0$ — точка минимума, $y(0) = 1$.

Задача 1:

$$y = \frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$$

1. Нахождение производной $y'(x)$:

Для того чтобы найти производную функции, воспользуемся правилом дифференцирования дробей (правило частного):

$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) g(x) — f(x) g'(x)}{(g(x))^2}$$

Здесь:

• $f(x) = (2-x)^3$
• $g(x) = (3-x)^2$

Теперь находим производные:

• Производная числителя $f(x) = (2-x)^3$ по цепному правилу:

$$f'(x) = 3(2-x)^2 \cdot (-1) = -3(2-x)^2$$

• Производная знаменателя $g(x) = (3-x)^2$:

$$g'(x) = 2(3-x)(-1) = -2(3-x)$$

Подставляем в формулу для производной:

$$y'(x) = \frac{-3(2-x)^2 \cdot (3-x)^2 — (2-x)^3 \cdot (-2(3-x))}{((3-x)^2)^2}$$

Упростим выражение в числителе:

$$y'(x) = \frac{-3(2-x)^2(3-x)^2 + 2(2-x)^3(3-x)}{(3-x)^4}$$

2. Упрощение числителя:

Выделим общий множитель из числителя:

$$y'(x) = \frac{(2-x)^2 (3-x) \left( -3(3-x) + 2(2-x) \right)}{(3-x)^4}$$

Упростим выражение в скобках:

$$-3(3-x) + 2(2-x) = -9 + 3x + 4 — 2x = x — 5$$

Теперь подставим это в выражение для производной:

$$y'(x) = \frac{(2-x)^2 (3-x) (x-5)}{(3-x)^4}$$

3. Промежуток возрастания:

Теперь решим неравенство, где производная положительна, то есть:

$$(3-x)(x-5) > 0$$

Это произведение будет положительным, если $x$ лежит между 3 и 5, то есть:

$$3 < x < 5$$

4. Область определения функции:

Функция имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. В данном случае, $(3-x)^2 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$.

5. Значение функции при $x = 5$:

Для нахождения значения функции при $x = 5$:

$$y(5) = \frac{(2-5)^3}{(3-5)^2} = \frac{(-3)^3}{(-2)^2} = \frac{-27}{4}$$

Ответ для задачи 1:
$x = 5$ — точка максимума, $y(5) = -\frac{27}{4}$.

Задача 2:

$$y = \frac{x^3 + 2x^2}{(x-1)^2}$$

1. Нахождение производной $y'(x)$:

Используем то же правило частного, что и в предыдущей задаче:

$$y'(x) = \frac{(x^3 + 2x^2) \cdot (x-1)^2 — (x^3 + 2x^2) \cdot (x-1)^2}{((x-1)^2)^2}$$

Производные для числителя:

• Производная $(x^3 + 2x^2)$:

$$\frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2) = 3x^2 + 4x$$

Теперь подставим это в нашу формулу для производной:

$$y'(x) = \frac{(3x^2 + 4x) \cdot (x-1)^2 — (x^3 + 2x^2) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$$

2. Упрощение выражения:

$$y'(x) = \frac{(x-1) \cdot x \cdot (x^2 — 3x — 4)}{(x-1)^4}$$

Решим квадратное уравнение $x^2 — 3x — 4 = 0$:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{3-5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3+5}{2} = 4$$

Разложим выражение:

$$(x+1)(x-4) = 0$$

Теперь подставим это в производную:

$$y'(x) = \frac{(x-1) \cdot x \cdot (x+1)(x-4)}{(x-1)^4}$$

3. Промежутки возрастания:

Решим неравенство $(x+1)(x)(x-1)(x-4) > 0$.

Находим, что функция возрастает при:

$$x < -1, \; 0 < x < 1 \; \text{или} \; x > 4$$

4. Область определения функции:

Функция имеет смысл при $x \neq 1$, так как знаменатель $(x-1)^2$ не может быть равен нулю.

5. Значения функции:

Для $y(-1)$:

$$y(-1) = \frac{(-1)^3 + 2(-1)^2}{(-1-1)^2} = \frac{-1 + 2}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$$

Для $y(0)$:

$$y(0) = \frac{0^3 + 2 \cdot 0^2}{(0-1)^2} = \frac{0}{(-1)^2} = 0$$

Для $y(4)$:

$$y(4) = \frac{4^3 + 2 \cdot 4^2}{(4-1)^2} = \frac{64 + 2 \cdot 16}{3^2} = \frac{64 + 32}{9} = \frac{96}{9} = \frac{32}{3}$$

Ответ для задачи 2:
$x = 0$ — точка минимума, $y(0) = 0$; $x = 4$ — точка минимума, $y(4) = 10 \frac{2}{3}$; $x = -1$ — точка максимума, $y(-1) = 0.25$.

Задача 3:

$$y = (x-1) \cdot e^{3x}$$

1. Нахождение производной $y'(x)$:

Используем правило произведения:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}((x-1)) \cdot e^{3x} + (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(e^{3x})$$

• Производная $(x-1)$ равна 1.
• Производная $e^{3x}$ по цепному правилу: $3e^{3x}$.

Итак:

$$y'(x) = 1 \cdot e^{3x} + (x-1) \cdot 3e^{3x} = e^{3x} \cdot (1 + 3(x-1))$$

Упрощаем:

$$y'(x) = e^{3x} \cdot (1 + 3x — 3) = e^{3x} \cdot (3x — 2)$$

2. Промежуток возрастания:

Найдем, когда производная положительна:

$$3x — 2 > 0$$ $$x > \frac{2}{3}$$

3. Значение функции при $x = \frac{2}{3}$:

Для нахождения значения функции при $x = \frac{2}{3}$:

$$y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} — 1\right) \cdot e^2 = -\frac{e^2}{3}$$

Ответ для задачи 3:
$x = \frac{2}{3}$ — точка минимума, $y\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{e^2}{3}$.

Задача 4:

$$y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$$

1. Нахождение производной $y'(x)$:

Используем стандартные производные:

$$y'(x) = \cos x + \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x = \cos x + \cos 2x$$

Используем тригонометрическую идентичность для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем:

$$y'(x) = \cos x + \cos^2 x — \sin^2 x$$

Упрощаем:

$$y'(x) = 2 \cos^2 x + \cos x — 1$$

2. Промежутки возрастания:

Применим метод подстановки $y = \cos x$:

$$2y^2 + y — 1 > 0$$

Решим это квадратное неравенство:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9, \quad y_1 = -1, \quad y_2 = \frac{1}{2}$$

Получаем, что $y > \frac{1}{2}$, что дает:

$$\cos x > \frac{1}{2}$$

Решение этого неравенства:

$$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < x < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Получаем промежутки:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

3. Значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}, \quad y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

Ответ для задачи 4:
$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — точка минимума, $y\left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — точка максимума, $y\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Задача 5:

$$y = e^{\sqrt{3-x^2}}$$

1. Нахождение производной $y'(x)$:

Вводим $u = \sqrt{3 — x^2}$, тогда $y = e^u$. Производная от $e^u$ равна $e^u$, умноженная на производную $u$:

$$y'(x) = -2x \cdot (3 — x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{\sqrt{3 — x^2}}$$

2. Промежуток возрастания:

Для того чтобы функция возрастала, нужно, чтобы производная была положительной:

$$-2x > 0 \quad \text{при} \quad x < 0$$

3. Область определения функции:

Функция имеет смысл, если $3 — x^2 \geq 0$, что дает:

$$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$$

4. Значение функции при $x = 0$:

$$y(0) = e^{\sqrt{3}} = e^{\sqrt{3}}$$

Ответ для задачи 5:
$x = 0$ — точка максимума, $y(0) = e^{\sqrt{3}}$.

Задача 6:

$$y = \sqrt{e^x — x}$$

1. Нахождение производной $y'(x)$:

Используем цепное правило:

$$y'(x) = \frac{e^x — 1}{2\sqrt{e^x — x}}$$

2. Промежуток возрастания:

Функция возрастает, когда $e^x — 1 > 0$, что означает:

$$x > 0$$

3. Значение функции при $x = 0$:

$$y(0) = \sqrt{e^0 — 0} = 1$$

Ответ для задачи 6:
$x = 0$ — точка минимума, $y(0) = 1$.