ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 919 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума функции:

1. y=x+ корень (3-x);
2. y=(x-1)6/7;
3. у = х — sin 2х;
4. у = cos 3х — 3х.

1) $y = x + \sqrt{3 — x}$

Производная:

$$y'(x) = (x)’ + (\sqrt{3 — x})’$$ $$y'(x) = 1 — \frac{1}{2}(3 — x)^{-\frac{1}{2}} = 1 — \frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$$

Промежуток возрастания:

$$1 — \frac{1}{2\sqrt{3 — x}} > 0$$ $$2\sqrt{3 — x} — 1 > 0$$ $$4(3 — x) > 1$$ $$12 — 4x > 1$$ $$4x < 11 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{11}{4}$$

Область определения:

$$3 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3$$

Ответ:

$$x = \frac{11}{4} \quad \text{— точка максимума}$$

2) $y = (x — 1)^{\frac{6}{7}}$

Производная:

$$y'(x) = \left((x — 1)^{\frac{6}{7}}\right)’ = \frac{6}{7}(x — 1)^{\frac{-1}{7}} = \frac{6}{7(x — 1)^{\frac{1}{7}}}$$

Точки экстремума:
Производная $y'(x)$ не равна нулю ни при каких значениях $x$, так как знаменатель $7(x — 1)^{\frac{1}{7}} \neq 0$.

Ответ:

$$\text{Нет таких точек.}$$

3) $y = x — \sin 2x$

Производная:

$$y'(x) = (x)’ — (\sin 2x)’ = 1 — 2\cos 2x$$

Промежуток убывания:

$$1 — 2\cos 2x < 0$$ $$2\cos 2x > 1$$ $$\cos 2x > \frac{1}{2}$$ $$-\arccos\frac{1}{2} + 2\pi n < 2x < \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ $$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Точки экстремума:

$$\cos 2x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка минимума}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка максимума}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка минимума}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка максимума}$$

4) $y = \cos 3x — 3x$

Производная:

$$y'(x) = (\cos 3x)’ — (3x)’ = -3\sin 3x — 3 = -3(\sin 3x + 1)$$

Точки экстремума:

$$y'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -3(\sin 3x + 1) = 0$$ $$\sin 3x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin 3x = -1$$

Однако, $\sin 3x = -1$ не входит в промежуток $[-1, 1]$, так как $\sin 3x$ всегда лежит в диапазоне $[-1, 1]$.

Ответ:

$$\text{Нет таких точек.}$$

1) $y = x + \sqrt{3 — x}$

Шаг 1. Найдём производную функции $y(x)$

Функция состоит из двух частей: линейного слагаемого $x$ и функции $\sqrt{3 — x}$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $x$ по $x$ равна 1:

$$\frac{d}{dx} (x) = 1$$

Для дифференцирования функции $\sqrt{3 — x}$ применяем цепное правило. Пусть $u = 3 — x$, тогда $\sqrt{u} = (3 — x)^{1/2}$. Производная от $(3 — x)^{1/2}$ по $x$ будет равна:

$$\frac{d}{dx} (3 — x)^{1/2} = \frac{1}{2}(3 — x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$$

Таким образом, производная функции $y(x) = x + \sqrt{3 — x}$ равна:

$$y'(x) = 1 — \frac{1}{2\sqrt{3 — x}}$$

Шаг 2. Определим промежуток возрастания функции

Для того чтобы функция возрастала, производная должна быть больше нуля:

$$y'(x) > 0$$

Подставим выражение для производной:

$$1 — \frac{1}{2\sqrt{3 — x}} > 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$2\sqrt{3 — x} — 1 > 0$$

Добавим 1 к обеим частям:

$$2\sqrt{3 — x} > 1$$

Теперь умножим обе части на 2:

$$4(3 — x) > 1$$

Раскроем скобки:

$$12 — 4x > 1$$

Переносим 1 в левую часть:

$$12 — 4x — 1 > 0$$

Получаем:

$$4x < 11$$

Разделим обе части на 4:

$$x < \frac{11}{4}$$

Таким образом, функция возрастает при $x < \frac{11}{4}$.

Шаг 3. Определим область определения функции

Поскольку подкоренное выражение $\sqrt{3 — x}$ требует, чтобы $3 — x \geq 0$, то из этого получаем:

$$3 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3$$

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, 3]$.

Шаг 4. Определим точку максимума

Функция возрастает до $x = \frac{11}{4}$ и затем начинает убывать, так как после этой точки производная становится отрицательной.

Следовательно, точка $x = \frac{11}{4}$ является точкой максимума.

Ответ:

$$x = \frac{11}{4} \quad \text{— точка максимума}$$

2) $y = (x — 1)^{\frac{6}{7}}$

Шаг 1. Найдём производную функции $y(x)$

Для дифференцирования функции $y(x) = (x — 1)^{\frac{6}{7}}$ используем правило дифференцирования степенной функции. Производная от $(x — 1)^{\frac{6}{7}}$ по $x$ будет:

$$y'(x) = \frac{6}{7}(x — 1)^{\frac{-1}{7}}$$

Шаг 2. Найдём точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравниваем производную к нулю:

$$y'(x) = \frac{6}{7}(x — 1)^{\frac{-1}{7}} = 0$$

Однако, дробь $\frac{6}{7}(x — 1)^{\frac{-1}{7}}$ не может быть равна нулю, так как числитель не равен нулю, а знаменатель всегда отличен от нуля для всех $x \neq 1$. Следовательно, производная не может равняться нулю при любом значении $x$.

Ответ:

$$\text{Нет таких точек.}$$

3) $y = x — \sin 2x$

Шаг 1. Найдём производную функции $y(x)$

Производная от $x$ по $x$ равна 1, а производная от $\sin 2x$ по $x$ равна $2\cos 2x$ (по правилу дифференцирования сложной функции). Таким образом, производная функции $y(x) = x — \sin 2x$ равна:

$$y'(x) = 1 — 2\cos 2x$$

Шаг 2. Найдём промежуток убывания

Для того чтобы функция убывала, производная должна быть меньше нуля:

$$y'(x) < 0$$

Подставляем выражение для производной:

$$1 — 2\cos 2x < 0$$

Переносим 1 в правую часть:

$$-2\cos 2x < -1$$

Делим обе части на -2 (и меняем знак неравенства):

$$\cos 2x > \frac{1}{2}$$

Теперь найдём интервал, на котором это условие выполняется. Зная, что $\cos 2x = \frac{1}{2}$ при $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, получаем:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим обе части на 2:

$$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Это и есть промежуток убывания.

Шаг 3. Найдём точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравниваем производную к нулю:

$$y'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — 2\cos 2x = 0$$

Отсюда:

$$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Решение уравнения $\cos 2x = \frac{1}{2}$ даёт:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим на 2:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка минимума}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка максимума}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка минимума}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{— точка максимума}$$

4) $y = \cos 3x — 3x$

Шаг 1. Найдём производную функции $y(x)$

Производная от $\cos 3x$ по $x$ равна $-3\sin 3x$ (по правилу цепочки), а производная от $-3x$ равна -3. Таким образом:

$$y'(x) = -3\sin 3x — 3 = -3(\sin 3x + 1)$$

Шаг 2. Найдём точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравниваем производную к нулю:

$$y'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -3(\sin 3x + 1) = 0$$

Решаем это уравнение:

$$\sin 3x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin 3x = -1$$

Однако, $\sin 3x = -1$ не имеет решений в промежутке $[-1, 1]$, так как значение синуса не может выходить за пределы этого интервала.

Ответ:

$$\text{Нет таких точек.}$$