ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 918 Алимов — Подробные Ответы

Найти критические точки функции:

1. y= корень (2-3×2);
2. y= корень (x3-3x);
3. y=|x-1|;
4. x2- |x|-2.

1) $y=\sqrt{2-3x^2}$

Пусть $u=2-3x^2$, тогда $y(u)=\sqrt{u}$.

Найдем производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(2-3x^2{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (\sqrt{u}{)}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(-3\cdot 2x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}=-\frac{3x}{\sqrt{2-3x^2}}$$

Точки экстремума:

$$-3x=0,\text{отсюда }x=0$$

Область определения:

$$2-3x^2\ge 0$$$$3x^2\le 2$$$$x^2\le \frac{2}{3}$$$$-\frac{\sqrt{6}}{3}<x<\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Ответ:

$$x_1=-\frac{\sqrt{6}}{3},x_2=0,x_3=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

2) $y=\sqrt{x^3-3x}$

Пусть $u=x^3-3x$, тогда $y(u)=\sqrt{u}$.

Найдем производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3-3x{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (\sqrt{u}{)}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(3x^2-3)\cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}=\frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x}}$$

Точки экстремума:

$$x^2-1=0$$$$x^2=1,\text{отсюда }x=\pm 1$$

Область определения:

$$x^3-3x\ge 0$$$$x(x^2-3)\ge 0$$$$(x+\sqrt{3})\cdot x\cdot (x-\sqrt{3})\ge 0$$$$-\sqrt{3}\le x\le 0\text{или}x\ge \sqrt{3}$$

Ответ:

$$x_1=-\sqrt{3},x_2=-1,x_3=0,x_4=\sqrt{3}$$

3) $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$

Производная:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\pm (x-1{)}^{\mathrm{\prime }}=\pm (1-0)=\pm 1$$

Точка излома графика:

$$x-1=0,\text{отсюда }x=1$$

Ответ:

$$x=1$$

4) $y=x^2-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2$

Производная:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }{)}^{\mathrm{\prime }}-(2{)}^{\mathrm{\prime }}=2x\pm 1$$

Точки экстремума:

$$-2x\pm 1=0$$$$-2x=\pm 1$$$$x=\pm \frac{1}{2}$$

Точка излома графика:

$$x=0$$

Ответ:

$$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0,x_3=\frac{1}{2}$$

1. $y=\sqrt{2-3x^2}$

1.1. Представление функции

У нас есть функция $y=\sqrt{2-3x^2}$, которую можно записать в виде составной функции:

$$y=\sqrt{u},\text{где}u=2-3x^2\mathrm{.}$$

1.2. Применение цепного правила

Теперь, используя цепное правило для дифференцирования составной функции, найдем производную $y^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Производная функции $y(u)=\sqrt{u}$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\mathrm{.}$$

Производная $u=2-3x^2$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx}(2-3x^2)=-6x\mathrm{.}$$

Теперь применим цепное правило:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{du}\sqrt{u}\cdot \frac{d}{dx}(2-3x^2)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (-6x)\mathrm{.}$$

Подставим значение $u=2-3x^2$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{6x}{2\sqrt{2-3x^2}}=-\frac{3x}{\sqrt{2-3x^2}}\mathrm{.}$$

1.3. Точки экстремума

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:

$$-\frac{3x}{\sqrt{2-3x^2}}=0.$$

Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

$$3x=0\Rightarrow x=0.$$

Таким образом, точка экстремума — это $x=0$.

1.4. Область определения функции

Чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$2-3x^2\ge 0.$$

Решаем неравенство:

$$3x^2\le 2\Rightarrow x^2\le \frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, $x$ должен удовлетворять условию:

$$-\frac{\sqrt{6}}{3}\le x\le \frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$

1.5. Ответ

Точки экстремума и область определения:

• Точка экстремума: $x=0$.
• Область определения: $-\frac{\sqrt{6}}{3}\le x\le \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2. $y=\sqrt{x^3-3x}$

2.1. Представление функции

Функция может быть представлена как составная:

$$y=\sqrt{u},\text{где}u=x^3-3x\mathrm{.}$$

2.2. Применение цепного правила

Теперь, используя цепное правило для дифференцирования, найдем производную $y^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Производная функции $y(u)=\sqrt{u}$ по $u$:

$$\frac{d}{du}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\mathrm{.}$$

Производная $u=x^3-3x$ по $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^3-3x)=3x^2-3.$$

Теперь применим цепное правило:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (3x^2-3)=\frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x}}\mathrm{.}$$

2.3. Точки экстремума

Точки экстремума будут найдены, когда производная равна нулю:

$$\frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x}}=0.$$

Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

$$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1.$$

2.4. Область определения функции

Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^3-3x\ge 0.$$

Решаем неравенство:

$$x(x^2-3)\ge 0.$$

Это неравенство имеет корни $x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$. Решаем неравенство с учетом знаков:

$$-\sqrt{3}\le x\le 0\text{или}x\ge \sqrt{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, область определения функции: $x\in [-\sqrt{3},0]\cup [\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$.

2.5. Ответ

Точки экстремума и область определения:

• Точки экстремума: $x=-1,1$.
• Область определения: $x\in [-\sqrt{3},0]\cup [\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$.

3. $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$

3.1. Производная

Для функции $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$ производная будет зависеть от знака выражения $x-1$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\pm 1,\text{в зависимости от знака}(x-1)\mathrm{.}$$

• Если $x>1$, то $y^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
• Если $x<1$, то $y^{\mathrm{\prime }}(x)=-1$.
• Если $x=1$, то функция имеет точку излома, и производная не существует.

3.2. Точка излома

График функции имеет точку излома в $x=1$, так как на этом месте меняется знак производной.

3.3. Ответ

Точка излома: $x=1$.

4. $y=x^2-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2$

4.1. Производная

Для функции $y=x^2-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2$ разберем производную по частям.

• Производная от $x^2$ равна $2x$.
• Производная от $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ равна $\pm 1$, в зависимости от знака $x$.

Таким образом, производная:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\pm 1.$$

4.2. Точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю:

$$2x\pm 1=0.$$

Решаем два уравнения:

1. $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$.
2. $2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.

Таким образом, точки экстремума: $x=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$.

4.3. Точка излома

Точка излома графика функции возникает в $x=0$, так как функция меняет свою форму из $x^2-x-2$ для $x>0$ и $x^2+x-2$ для $x<0$.

4.4. Ответ

Точки экстремума и точка излома:

• Точки экстремума: $x=-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}$.
• Точка излома: $x=0$.