ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 916 Алимов — Подробные Ответы

Имеет ли точки экстремума функция:

1. у = 2х + 5;
2. у = 7 — 5х;
3. у = х3 + 2х;
4. у = x/2 — 1/x?

1. $y = 2x + 5$;
   $y'(x) = (2x + 5)’ = 2$;
   Точки экстремума:
   $2 = 0$ — нет корней;
   Ответ: не имеет.
2. $y = 7 — 5x$;
   $y'(x) = (7 — 5x)’ = -5$;
   Точки экстремума:
   $-5 = 0$ — нет корней;
   Ответ: не имеет.
3. $y = x^3 + 2x$;
   $y'(x) = (x^3)’ + (2x)’ = 3x^2 + 2$;
   Точки экстремума:
   $3x^2 + 2 = 0$;
   $3x^2 = -2$;
   $x^2 = -\frac{2}{3}$ — нет корней;
   Ответ: не имеет.
4. $y = \frac{x}{2} — \frac{1}{x}$;
   $y'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x)’ — \left( \frac{1}{x} \right)’ = \frac{1}{2} + \frac{1}{x^2}$;
   Точки экстремума:
   $\frac{1}{2} + \frac{1}{x^2} = 0$;
   $x^2 + 2 = 0$;
   $x^2 = -2$ — нет корней;
   Ответ: не имеет.

1) Задача:

$y = 2x + 5$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной функции $y = 2x + 5$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $2x$ — это $2$
• Производная от постоянной $5$ — это $0$

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = (2x)’ + (5)’ = 2 + 0 = 2$$

Шаг 2: Находим точки экстремума

Для нахождения точек экстремума нужно приравнять первую производную $y'(x)$ к нулю:

$$2 = 0$$

Однако уравнение $2 = 0$ не имеет решения. Это означает, что функция $y = 2x + 5$ не имеет точек экстремума.

Ответ:

Точки экстремума не существуют, так как производная постоянна и не равна нулю.

2) Задача:

$y = 7 — 5x$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной функции $y = 7 — 5x$ применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $7$ — это $0$
• Производная от $-5x$ — это $-5$

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = (7)’ — (5x)’ = 0 — 5 = -5$$

Шаг 2: Находим точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравниваем первую производную $y'(x)$ к нулю:

$$-5 = 0$$

Однако уравнение $-5 = 0$ также не имеет решений. Это означает, что функция $y = 7 — 5x$ не имеет точек экстремума.

Ответ:

Точки экстремума не существуют, так как производная постоянна и не равна нулю.

3) Задача:

$y = x^3 + 2x$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной функции $y = x^3 + 2x$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$
• Производная от $2x$ — это $2$

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = (x^3)’ + (2x)’ = 3x^2 + 2$$

Шаг 2: Находим точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравниваем первую производную $y'(x) = 3x^2 + 2$ к нулю:

$$3x^2 + 2 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$3x^2 = -2$$ $$x^2 = -\frac{2}{3}$$

Однако уравнение $x^2 = -\frac{2}{3}$ не имеет действительных решений, так как квадрат числа всегда неотрицателен, а справа стоит отрицательное число. Таким образом, экстремумы для данной функции отсутствуют.

Ответ:

Точки экстремума не существуют, так как уравнение не имеет действительных корней.

4) Задача:

$y = \frac{x}{2} — \frac{1}{x}$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{2} — \frac{1}{x}$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $\frac{x}{2}$ — это $\frac{1}{2}$
• Производная от $-\frac{1}{x}$ — это $\frac{1}{x^2}$ (с учетом знака минус)

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = \frac{1}{2} — \left( \frac{1}{x} \right)’ = \frac{1}{2} + \frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Находим точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравниваем первую производную $y'(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{x^2}$ к нулю:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{x^2} = 0$$

Переносим $\frac{1}{2}$ на правую сторону:

$$\frac{1}{x^2} = -\frac{1}{2}$$

Уравнение $\frac{1}{x^2} = -\frac{1}{2}$ не имеет решений в области действительных чисел, поскольку левая часть всегда положительна (для всех $x \neq 0$), а правая часть отрицательна. Следовательно, экстремумы для данной функции отсутствуют.

Ответ:

Точки экстремума не существуют, так как уравнение не имеет решений в области действительных чисел.