ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 915 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1. у = X3 — 3х2;
2. у = X4 — 8х2 + 3;
3. у = х + sin х;
4. у = 2 cos х + х.

1) $y = x^3 — 3x^2$;
$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x = 3x^2 — 6x$;

Точки экстремума:
$3x^2 — 6x = 0$;
$3x \cdot (x — 2) = 0$;

Значения функции:
$y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 = 0$;
$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 = 8 — 3 \cdot 4 = 8 — 12 = -4$;

Ответ: $x = 2$ — точка минимума, $y(2) = -4$;
$x = 0$ — точка максимума, $y(0) = 0$.

2) $y = x^4 — 8x^2 + 3$;
$y'(x) = (x^4)’ — 8 \cdot (x^2)’ + (3)’ = 4x^3 — 8 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 16x$;

Точки экстремума:
$4x^3 — 16x = 0$;
$4x \cdot (x^2 — 4) = 0$;
$(x + 2) \cdot 4x \cdot (x — 2) = 0$;

Значения функции:
$y(\pm 2) = (\pm 2)^4 — 8 \cdot (\pm 2)^2 + 3 = 16 — 8 \cdot 4 + 3 = 16 — 32 + 3 = -13$;
$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^2 + 3 = 3$;

Ответ: $x = \pm 2$ — точки минимума, $f(\pm 2) = -13$;
$x = 0$ — точка максимума, $f(0) = 3$.

3) $y = x + \sin x$;
$y'(x) = (x)’ + (\sin x)’ = 1 + \cos x$;

Точки экстремума:
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
$0 \leq 1 + \cos x \leq 2$;

Ответ: нет таких точек.

4) $y = 2 \cos x + x$;
$y'(x) = 2 \cdot (\cos x)’ + (x)’ = -2 \sin x + 1$;

Промежуток убывания:
$-2 \sin x + 1 < 0$;
$-2 \sin x < -1$;
$\sin x > \frac{1}{2}$;
$\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < x < \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;

Значения функции:
$y\left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
$y\left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ — точка минимума, $y\left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ — точка максимума, $y\left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

1) Задача:

$y = x^3 — 3x^2$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной функции $y = x^3 — 3x^2$ применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$
• Производная от $-3x^2$ — это $-6x$

Тогда:

$$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ = 3x^2 — 6x$$

Шаг 2: Находим точки экстремума

Для нахождения точек экстремума приравниваем первую производную $y'(x)$ к нулю:

$$3x^2 — 6x = 0$$

Вынесем общий множитель $3x$:

$$3x(x — 2) = 0$$

Теперь решим это уравнение:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Таким образом, точки экстремума находятся в точках $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 3: Находим значения функции в этих точках

Теперь подставим найденные значения $x$ в исходную функцию для нахождения значений функции в этих точках.

Для $x = 0$:

$$y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 = 0$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 = 8 — 12 = -4$$

Шаг 4: Определяем характер экстремумов

Для того чтобы точно определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, проверим вторую производную функции:

$$y»(x) = (3x^2 — 6x)’ = 6x — 6$$

Для $x = 0$:

$$y»(0) = 6 \cdot 0 — 6 = -6$$

Поскольку $y»(0) < 0$, точка $x = 0$ — это точка максимума.

Для $x = 2$:

$$y»(2) = 6 \cdot 2 — 6 = 12 — 6 = 6$$

Поскольку $y»(2) > 0$, точка $x = 2$ — это точка минимума.

Ответ:

• Точка $x = 0$ — точка максимума, $y(0) = 0$
• Точка $x = 2$ — точка минимума, $y(2) = -4$

2) Задача:

$y = x^4 — 8x^2 + 3$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной функции $y = x^4 — 8x^2 + 3$ также применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^4$ — это $4x^3$
• Производная от $-8x^2$ — это $-16x$
• Производная от $3$ — это $0$

Тогда:

$$y'(x) = (x^4)’ — 8 \cdot (x^2)’ + (3)’ = 4x^3 — 16x$$

Шаг 2: Находим точки экстремума

Приравниваем первую производную $y'(x)$ к нулю:

$$4x^3 — 16x = 0$$

Вынесем общий множитель $4x$:

$$4x(x^2 — 4) = 0$$

Это уравнение можно факторизовать:

$$4x(x + 2)(x — 2) = 0$$

Решение этого уравнения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Таким образом, точки экстремума находятся в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 3: Находим значения функции в этих точках

Подставляем найденные значения $x$ в исходную функцию:

Для $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^4 — 8 \cdot (-2)^2 + 3 = 16 — 8 \cdot 4 + 3 = 16 — 32 + 3 = -13$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^2 + 3 = 3$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = 2^4 — 8 \cdot 2^2 + 3 = 16 — 32 + 3 = -13$$

Шаг 4: Определяем характер экстремумов

Для этого используем вторую производную функции:

$$y»(x) = (4x^3 — 16x)’ = 12x^2 — 16$$

Для $x = -2$:

$$y»(-2) = 12 \cdot (-2)^2 — 16 = 12 \cdot 4 — 16 = 48 — 16 = 32$$

Поскольку $y»(-2) > 0$, точка $x = -2$ — это точка минимума.

Для $x = 0$:

$$y»(0) = 12 \cdot 0^2 — 16 = -16$$

Поскольку $y»(0) < 0$, точка $x = 0$ — это точка максимума.

Для $x = 2$:

$$y»(2) = 12 \cdot 2^2 — 16 = 12 \cdot 4 — 16 = 48 — 16 = 32$$

Поскольку $y»(2) > 0$, точка $x = 2$ — это точка минимума.

Ответ:

• Точка $x = 0$ — точка максимума, $y(0) = 3$
• Точки $x = \pm 2$ — точки минимума, $y(\pm 2) = -13$

3) Задача:

$y = x + \sin x$

Шаг 1: Находим производную функции

Производная функции:

$$y'(x) = (x)’ + (\sin x)’ = 1 + \cos x$$

Шаг 2: Находим точки экстремума

Приравниваем первую производную $y'(x) = 1 + \cos x$ к нулю:

$$1 + \cos x = 0$$ $$\cos x = -1$$

Решение этого уравнения: $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Но необходимо проверить, есть ли экстремумы. Заметим, что $\cos x$ всегда находится в пределах $-1 \leq \cos x \leq 1$, а следовательно, $1 + \cos x$ находится в интервале $[0, 2]$, и никогда не становится равным нулю, если $x$ не удовлетворяет $\cos x = -1$, что означает наличие осцилляций, а не экстремумов.

Ответ:

Экстремумы отсутствуют.

4) Задача:

$y = 2 \cos x + x$

Шаг 1: Находим производную функции

Производная функции:

$$y'(x) = 2 \cdot (\cos x)’ + (x)’ = -2 \sin x + 1$$

Шаг 2: Находим промежуток убывания

Для нахождения промежутков убывания решаем неравенство:

$$-2 \sin x + 1 < 0$$ $$-2 \sin x < -1$$ $$\sin x > \frac{1}{2}$$

Решение этого неравенства:

$$\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < x < \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3: Находим значения функции на концах промежутка

Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:

$$y\left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$:

$$y\left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Ответ:

• Точка $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ — точка минимума, $y\left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
• Точка $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ — точка максимума, $y\left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$