ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 914 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума функции:

1. у = 2х2 — 20х +1;
2. у = 3х2 + З6х — 1;
3. y = x/5+5/x;
4. у =4/x + x/16.

1. $y = 2x^2 — 20x + 1$;
   $y'(x) = 2 \cdot (x^2)’ — (20x — 1)’ = 2 \cdot 2x — 20 = 4x — 20$;
   Промежуток возрастания:
   $4x — 20 > 0$;
   $4 \cdot (x — 5) > 0$, отсюда $x > 5$;
   Ответ: $x = 5$ — точка минимума.
2. $y = 3x^2 + 36x — 1$;
   $y'(x) = 3 \cdot (x^2)’ + (36x — 1)’ = 3 \cdot 2x + 36 = 6x + 36$;
   Промежуток возрастания:
   $6x + 36 > 0$;
   $6 \cdot (x + 6) > 0$, отсюда $x > -6$;
   Ответ: $x = -6$ — точка минимума.
3. $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$;
   $y'(x) = \frac{1}{5} \cdot (x)’ + 5 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = \frac{1}{5} — \frac{5}{x^2}$;
   Промежуток возрастания:
   $\frac{1}{5} — \frac{5}{x^2} > 0$;
   $x^2 — 25 > 0$;
   $(x + 5)(x — 5) > 0$;
   $x < -5$ или $x > 5$;
   Ответ: $x = 5$ — точка минимума;
   $x = -5$ — точка максимума.
4. $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16}$;
   $y'(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ + \frac{1}{16} \cdot (x)’ = \frac{1}{16} — \frac{4}{x^2}$;
   Промежуток возрастания:
   $\frac{1}{16} — \frac{4}{x^2} > 0$;
   $x^2 — 64 > 0$;
   $(x + 8)(x — 8) > 0$;
   $x < -8$ или $x > 8$;
   Ответ: $x = 8$ — точка минимума;
   $x = -8$ — точка максимума.

1) $y = 2x^2 — 20x + 1$

Шаг 1: Находим производную функции.

Функция имеет вид квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Для нахождения производной воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

$$y(x) = 2x^2 — 20x + 1.$$

Производная от $2x^2$ — это $4x$, а производная от $-20x$ — это $-20$, производная от константы 1 равна 0. Итак:

$$y'(x) = 4x — 20.$$

Шаг 2: Исследуем монотонность функции.

Для исследования монотонности нужно решить неравенство, определяющее промежутки возрастания и убывания функции. Монотонность функции зависит от знака её производной.

Монотонность зависит от выражения $y'(x) = 4x — 20$.

Решим неравенство для возрастания:

$$4x — 20 > 0.$$

Добавляем 20 к обеим частям неравенства:

$$4x > 20.$$

Теперь делим обе части неравенства на 4:

$$x > 5.$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x > 5$.

Решим неравенство для убывания:

$$4x — 20 < 0.$$

Добавляем 20 к обеим частям неравенства:

$$4x < 20.$$

Теперь делим обе части неравенства на 4:

$$x < 5.$$

Функция убывает на промежутке $x < 5$.

Шаг 3: Находим точку экстремума.

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю:

$$4x — 20 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$4x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 5.$$

Таким образом, точка экстремума находится в точке $x = 5$.

Чтобы определить, является ли эта точка минимумом или максимумом, посмотрим на знак производной слева и справа от этой точки:

• Для $x < 5$ производная отрицательна, функция убывает.
• Для $x > 5$ производная положительна, функция возрастает.

Значит, в точке $x = 5$ находится минимум функции.

Ответ:

Точка минимума: $x = 5$.

2) $y = 3x^2 + 36x — 1$

Шаг 1: Находим производную функции.

Функция имеет вид $y(x) = 3x^2 + 36x — 1$. Находим её производную:

$$y'(x) = 3 \cdot 2x + 36 = 6x + 36.$$

Шаг 2: Исследуем монотонность функции.

Монотонность функции определяется знаком её производной:

Решим неравенство для возрастания:

$$6x + 36 > 0.$$

Отнимаем 36 от обеих частей:

$$6x > -36.$$

Делим обе части на 6:

$$x > -6.$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x > -6$.

Решим неравенство для убывания:

$$6x + 36 < 0.$$

Отнимаем 36 от обеих частей:

$$6x < -36.$$

Делим обе части на 6:

$$x < -6.$$

Функция убывает на промежутке $x < -6$.

Шаг 3: Находим точку экстремума.

Приравниваем производную к нулю:

$$6x + 36 = 0.$$

Решаем уравнение:

$$6x = -36 \quad \Rightarrow \quad x = -6.$$

Точка экстремума находится в точке $x = -6$.

Определим, является ли эта точка минимумом или максимумом:

• Для $x < -6$ производная отрицательна, функция убывает.
• Для $x > -6$ производная положительна, функция возрастает.

Следовательно, точка $x = -6$ — точка минимума.

Ответ:

Точка минимума: $x = -6$.

3) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$

Шаг 1: Находим производную функции.

Функция $y(x) = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$ является суммой двух функций. Находим её производную:

$$y'(x) = \frac{1}{5} \cdot (x)’ + 5 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = \frac{1}{5} — \frac{5}{x^2}.$$

Шаг 2: Исследуем монотонность функции.

Монотонность функции определяется знаком её производной. Рассмотрим неравенство для возрастания:

$$\frac{1}{5} — \frac{5}{x^2} > 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{5} > \frac{5}{x^2} \quad \Rightarrow \quad 1 > \frac{25}{x^2}.$$

Умножаем обе части неравенства на $x^2$ (при $x \neq 0$):

$$x^2 > 25.$$

Это неравенство распадается на два случая:

$$x > 5 \quad \text{или} \quad x < -5.$$

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -5)$ и $(5, \infty)$.

Шаг 3: Находим точку экстремума.

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{1}{5} — \frac{5}{x^2} = 0.$$

Решаем уравнение:

$$\frac{5}{x^2} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad x^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 5.$$

Проверим, являются ли эти точки точками экстремума:

• Для $x = 5$ функция возрастает справа и убывает слева, значит, это точка минимума.
• Для $x = -5$ функция убывает справа и возрастает слева, значит, это точка максимума.

Ответ:

Точка минимума: $x = 5$;
Точка максимума: $x = -5$.

4) $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16}$

Шаг 1: Находим производную функции.

Функция $y(x) = \frac{4}{x} + \frac{x}{16}$ — это сумма двух дробей. Найдем её производную:

$$y'(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ + \frac{1}{16} \cdot (x)’ = \frac{1}{16} — \frac{4}{x^2}.$$

Шаг 2: Исследуем монотонность функции.

Монотонность функции определяется знаком её производной. Рассмотрим неравенство для возрастания:

$$\frac{1}{16} — \frac{4}{x^2} > 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{16} > \frac{4}{x^2} \quad \Rightarrow \quad 1 > \frac{64}{x^2}.$$

Умножаем обе части неравенства на $x^2$ (при $x \neq 0$):

$$x^2 > 64.$$

Это неравенство распадается на два случая:

$$x > 8 \quad \text{или} \quad x < -8.$$

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -8)$ и $(8, \infty)$.

Шаг 3: Находим точку экстремума.

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{1}{16} — \frac{4}{x^2} = 0.$$

Решаем уравнение:

$$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{16} \quad \Rightarrow \quad x^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 8.$$

Проверим, являются ли эти точки точками экстремума:

• Для $x = 8$ функция возрастает справа и убывает слева, значит, это точка минимума.
• Для $x = -8$ функция убывает справа и возрастает слева, значит, это точка максимума.

Ответ:

Точка минимума: $x = 8$;
Точка максимума: $x = -8$.

Итог:

1. Точка минимума: $x = 5$.
2. Точка минимума: $x = -6$.
3. Точка минимума: $x = 5$; Точка максимума: $x = -5$.
4. Точка минимума: $x = 8$; Точка максимума: $x = -8$.