ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 913 Алимов — Подробные Ответы

Найти стационарные точки функции:

1. y=(2+x2)/x;
2. y=(x2+3)/2x;
3. y= e^(x2-1);
4. y=2^(x2+x).

$y = \frac{2 + x^2}{x} = \frac{2}{x} + x$;

$y'(x) = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ + (x)’ = -\frac{2}{x^2} + 1$;

Стационарные точки:

$$-\frac{2}{x^2} + 1 = 0;$$ $$\frac{2}{x^2} = 1;$$ $$x^2 = 2, \text{ отсюда } x = \pm \sqrt{2};$$

Ответ: $x_1 = -\sqrt{2}; \quad x_2 = \sqrt{2}$.

$y = \frac{x^2 + 3}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2x}$;

$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x)’ + \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = \frac{1}{2} — \frac{3}{2x^2}$;

Стационарные точки:

$$\frac{1}{2} — \frac{3}{2x^2} = 0;$$ $$x^2 — 3 = 0;$$ $$x^2 = 3, \text{ отсюда } x = \pm \sqrt{3};$$

Ответ: $x_1 = -\sqrt{3}; \quad x_2 = \sqrt{3}$.

$y = e^{x^2 — 1}$;

Пусть $u = x^2 — 1$, тогда $y(u) = e^u$;

$y'(x) = (x^2 — 1)’ \cdot (e^u)’ = 2x \cdot e^u = 2x \cdot e^{x^2 — 1}$;

Стационарные точки:

$$2x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

$y = 2^{x^2 + x}$;

Пусть $u = x^2 + x$, тогда $y(u) = 2^u$;

$y'(x) = (x^2 + x)’ \cdot (2^u)’$;

$y'(x) = (2x + 1) \cdot 2^u \cdot \ln 2 = (2x + 1) \cdot 2^{x^2 + x} \cdot \ln 2$;

Стационарные точки:

$$2x + 1 = 0;$$ $$2x = -1, \text{ отсюда } x = -0.5;$$

Ответ: $x = -0.5$.

1) $y = \frac{2 + x^2}{x} = \frac{2}{x} + x$

Нам нужно найти стационарные точки функции $y$, то есть такие значения $x$, при которых производная функции $y'(x)$ равна нулю. Начнем с нахождения производной.

Шаг 1: Находим производную функции $y(x)$.

Исходная функция:

$$y(x) = \frac{2}{x} + x.$$

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $\frac{2}{x}$ — это $-\frac{2}{x^2}$ (по правилу дифференцирования дроби),
• Производная от $x$ — это 1.

Тогда:

$$y'(x) = \left( \frac{2}{x} \right)’ + (x)’ = -\frac{2}{x^2} + 1.$$

Шаг 2: Находим стационарные точки.

Стационарные точки возникают, когда производная $y'(x)$ равна нулю. То есть решим уравнение:

$$y'(x) = -\frac{2}{x^2} + 1 = 0.$$

Переносим 1 в правую часть:

$$-\frac{2}{x^2} = -1.$$

Умножаем обе части на $-1$, чтобы избавиться от минусов:

$$\frac{2}{x^2} = 1.$$

Теперь умножим обе части на $x^2$ (при условии, что $x \neq 0$):

$$2 = x^2.$$

Из этого уравнения находим $x$:

$$x = \pm \sqrt{2}.$$

Ответ:

Стационарные точки: $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

2) $y = \frac{x^2 + 3}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2x}$

Теперь найдем стационарные точки для другой функции $y$. Начнем с нахождения её производной.

Шаг 1: Находим производную функции $y(x)$.

Исходная функция:

$$y(x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2x}.$$

Для нахождения производной снова используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $\frac{x}{2}$ — это $\frac{1}{2}$,
• Производная от $\frac{3}{2x}$ — это $\frac{-3}{2x^2}$ (по правилу дифференцирования дроби).

Тогда:

$$y'(x) = \left( \frac{x}{2} \right)’ + \left( \frac{3}{2x} \right)’ = \frac{1}{2} — \frac{3}{2x^2}.$$

Шаг 2: Находим стационарные точки.

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$y'(x) = \frac{1}{2} — \frac{3}{2x^2} = 0.$$

Переносим $\frac{1}{2}$ в правую часть:

$$-\frac{3}{2x^2} = -\frac{1}{2}.$$

Умножаем обе части на $-2$ для избавления от минусов:

$$\frac{3}{x^2} = 1.$$

Теперь умножим обе части на $x^2$:

$$3 = x^2.$$

Находим $x$:

$$x = \pm \sqrt{3}.$$

Ответ:

Стационарные точки: $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

3) $y = e^{x^2 — 1}$

Теперь рассмотрим функцию $y = e^{x^2 — 1}$, где требуется найти её стационарные точки.

Шаг 1: Находим производную функции $y(x)$.

Исходная функция:

$$y(x) = e^{x^2 — 1}.$$

Для нахождения производной используем цепное правило. Пусть:

$$u = x^2 — 1 \quad \text{и} \quad y(u) = e^u.$$

Тогда производная от $y(u)$ по $u$ будет $e^u$, а производная от $u = x^2 — 1$ по $x$ равна $2x$. Таким образом, по цепному правилу:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x^2 — 1} \right) = 2x \cdot e^{x^2 — 1}.$$

Шаг 2: Находим стационарные точки.

Стационарные точки возникают, когда производная равна нулю:

$$2x \cdot e^{x^2 — 1} = 0.$$

Так как экспоненциальная функция $e^{x^2 — 1}$ никогда не равна нулю, то приравниваем к нулю только $2x$:

$$2x = 0.$$

Решаем:

$$x = 0.$$

Ответ:

Единственная стационарная точка: $x = 0$.

4) $y = 2^{x^2 + x}$

Теперь решим для функции $y = 2^{x^2 + x}$.

Шаг 1: Находим производную функции $y(x)$.

Исходная функция:

$$y(x) = 2^{x^2 + x}.$$

Используем цепное правило для дифференцирования функции вида $a^u$, где $a$ — постоянная (в данном случае 2). Производная от $a^u$ будет:

$$\frac{d}{dx} a^u = a^u \cdot \ln a \cdot \frac{du}{dx}.$$

Здесь $u = x^2 + x$, так что:

$$y'(x) = 2^{x^2 + x} \cdot \ln 2 \cdot (2x + 1).$$

Шаг 2: Находим стационарные точки.

Стационарные точки возникают, когда производная равна нулю:

$$y'(x) = 2^{x^2 + x} \cdot \ln 2 \cdot (2x + 1) = 0.$$

Так как $2^{x^2 + x}$ и $\ln 2$ всегда больше нуля, приравниваем к нулю только $2x + 1$:

$$2x + 1 = 0.$$

Решаем:

$$2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2}.$$

Ответ:

Единственная стационарная точка: $x = -0.5$.