ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 912 Алимов — Подробные Ответы

Найти стационарные точки функции:

1. у = x/2 +8/x;
2. у = 2х3 — 15х2 + 36х;
3. у = е2х — 2ех;
4. у = sin х — cos х.

Стационарные точки функции — это точки, в которых производная этой функции равна нулю;

$y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$;

$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x)’ + 8 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = \frac{1}{2} + 8 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{2} — \frac{8}{x^2}$;

Стационарные точки:

$$\frac{1}{2} — \frac{8}{x^2} = 0;$$ $$\frac{x^2}{2} — 8 = 0;$$ $$\frac{x^2}{2} = 8;$$ $$x^2 = 16, \text{ отсюда } x = \pm 4;$$

Ответ: $x_1 = -4; \, x_2 = 4$.

$y = 2x^3 — 15x^2 + 36x$;

$y'(x) = 2 \cdot (x^3)’ — 15 \cdot (x^2)’ + (36x)’$;

$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 15 \cdot 2x + 36 = 6x^2 — 30x + 36$;

Стационарные точки:

$$6x^2 — 30x + 36 = 0;$$ $$x^2 — 5x + 6 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

Ответ: $x_1 = 2; \, x_2 = 3$.

$y = e^{2x} — 2e^x$;

$y'(x) = (e^{2x})’ — 2 \cdot (e^x)’ = 2e^{2x} — 2e^x = 2 \cdot (e^{2x} — e^x)$;

Стационарные точки:

$$e^{2x} — e^x = 0;$$ $$e^{2x} = e^x;$$ $$2x = x, \text{ отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

$y = \sin x — \cos x$;

$y'(x) = (\sin x)’ — (\cos x)’ = \cos x + \sin x$;

Стационарные точки:

$$\cos x + \sin x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$1 + \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Стационарными точками функции называют такие точки, в которых производная функции равна нулю. Процесс нахождения стационарных точек включает следующие шаги:

1. Нахождение производной функции.
2. Решение уравнения, где производная равна нулю.
3. Получение значений переменной, для которой производная равна нулю.

Пример 1

Функция: $y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$

Нахождение производной функции:
Нам нужно найти производную функции $y$ по $x$. Мы применяем основные правила дифференцирования.

$$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x)’ + 8 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’$$

Дифференцируем каждую часть:

• Производная от $x$ равна 1, то есть $(x)’ = 1$.
• Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$, так как $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$.

Подставляем это в формулу:

$$y'(x) = \frac{1}{2} — \frac{8}{x^2}$$

Решение уравнения для стационарных точек:
Стационарные точки — это точки, где производная равна нулю:

$$y'(x) = 0$$

Подставим выражение для производной:

$$\frac{1}{2} — \frac{8}{x^2} = 0$$

Переносим второе слагаемое в правую часть:

$$\frac{1}{2} = \frac{8}{x^2}$$

Умножаем обе части на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$\frac{x^2}{2} = 8$$

Умножаем обе части на 2:

$$x^2 = 16$$

Теперь находим корни из этого уравнения:

$$x = \pm 4$$

Таким образом, стационарные точки для данной функции: $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Пример 2

Функция: $y = 2x^3 — 15x^2 + 36x$

Нахождение производной функции:

Для нахождения производной, применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

$$y'(x) = 2 \cdot (x^3)’ — 15 \cdot (x^2)’ + (36x)’$$

Дифференцируем каждый элемент:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$, то есть $(x^3)’ = 3x^2$.
• Производная от $x^2$ — это $2x$, то есть $(x^2)’ = 2x$.
• Производная от $36x$ — это просто 36, то есть $(36x)’ = 36$.

Подставляем это в формулу:

$$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 15 \cdot 2x + 36 = 6x^2 — 30x + 36$$

Решение уравнения для стационарных точек:

Стационарные точки — это точки, где производная равна нулю:

$$6x^2 — 30x + 36 = 0$$

Упростим уравнение, разделив его на 6:

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Это квадратное уравнение. Для решения используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Здесь $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Подставляем эти значения в формулу:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 — 24}}{2}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$$ $$x = \frac{5 \pm 1}{2}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Таким образом, стационарные точки для данной функции: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Пример 3

Функция: $y = e^{2x} — 2e^x$

Нахождение производной функции:

Для нахождения производной используем правило дифференцирования экспоненциальных функций:

• Производная от $e^{2x}$ — это $2e^{2x}$, то есть $(e^{2x})’ = 2e^{2x}$.
• Производная от $e^x$ — это $e^x$, то есть $(e^x)’ = e^x$.

Подставляем в выражение:

$$y'(x) = 2e^{2x} — 2e^x$$

Вынесем общий множитель $2$:

$$y'(x) = 2 \cdot (e^{2x} — e^x)$$

Решение уравнения для стационарных точек:

Стационарные точки — это точки, где производная равна нулю:

$$2 \cdot (e^{2x} — e^x) = 0$$

Разделим обе части на 2:

$$e^{2x} — e^x = 0$$

Переносим $e^x$ в правую часть:

$$e^{2x} = e^x$$

Это уравнение можно решить, заметив, что $e^{2x} = (e^x)^2$, то есть:

$$(e^x)^2 = e^x$$

Делим обе части на $e^x$ (при $e^x \neq 0$):

$$e^x = 1$$

Это означает, что $x = 0$, так как $e^0 = 1$.

Таким образом, стационарная точка: $x = 0$.

Пример 4

Функция: $y = \sin x — \cos x$

Нахождение производной функции:

Дифференцируем каждое слагаемое:

• Производная от $\sin x$ — это $\cos x$, то есть $(\sin x)’ = \cos x$.
• Производная от $\cos x$ — это $-\sin x$, то есть $(\cos x)’ = -\sin x$.

Подставляем:

$$y'(x) = \cos x + \sin x$$

Решение уравнения для стационарных точек:

Стационарные точки — это точки, где производная равна нулю:

$$\cos x + \sin x = 0$$

Разделим обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$1 + \operatorname{tg} x = 0$$

Решаем относительно $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = -1$$

$\operatorname{tg} x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Таким образом, стационарные точки: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Ответы:

1. Стационарные точки: $x_1 = -4; \, x_2 = 4$
2. Стационарные точки: $x_1 = 2; \, x_2 = 3$
3. Стационарная точка: $x = 0$
4. Стационарные точки: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$