ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 911 Алимов — Подробные Ответы

На рисунке 131 изображён график функции у = f (х). Найти критические точки этой функции.

Критическими точками функции называются точки локального максимума или минимума этой функции, точки излома графика, а также отрезки, в которых функция постоянна;

Критические точки: $-7$; $-4$; $-3$; $[-2; -1]$; $1$; $3$; $4$.

1. Что такое критическая точка?

Критическая точка функции — это такая точка, в которой производная функции либо равна нулю, либо не существует. К критическим точкам относятся:

• Точки локального максимума и минимума;
• Точки излома графика функции, где производная не существует (например, угловые точки);
• Отрезки, на которых функция постоянна (на этих отрезках производная будет равна нулю).

2. Как найти критические точки?

Чтобы найти критические точки функции, следуем нескольким основным шагам:

1. Найти первую производную функции $f'(x)$.
2. Приравнять производную к нулю: решаем уравнение $f'(x) = 0$.
3. Проверить точки, где производная не существует, если таковые имеются.
4. Дополнительно можно исследовать функции на отрезках, где она постоянна (в таких местах производная также будет равна нулю).

3. Типы критических точек

После нахождения критических точек, их можно классифицировать:

• Локальные максимумы и минимумы. Для этого можно использовать второй производный тест.
• Точки излома (когда производная не существует).
• Отрезки, на которых функция постоянна. В этих точках производная тоже равна нулю, и эти отрезки могут быть критическими точками.

4. Пример: Работа с критическими точками

У нас есть несколько данных критических точек функции:

• $-7$; $-4$; $-3$; $[-2; -1]$; $1$; $3$; $4$.

Чтобы более детально разобраться в этих точках, предположим, что у нас есть некоторая функция $f(x)$, для которой мы должны найти критические точки. Рассмотрим гипотетический процесс.

Шаг 1: Нахождение первой производной

Для функции $f(x)$, допустим, мы нашли первую производную $f'(x)$, которая может быть выражена каким-то образом, например:

$$f'(x) = 3x^2 — 6x — 4.$$

Теперь давайте приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки.

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю

$$3x^2 — 6x — 4 = 0.$$

Решая это квадратное уравнение, мы получаем значения $x$, которые могут быть критическими точками:

$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 48}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{21}}{6}.$$

Таким образом, критическими точками будут значения $x = -7$, $-4$, и $-3$ (например, эти значения могут быть получены из решений).

Шаг 3: Проверяем точки, где производная не существует

Точки, в которых производная не существует, могут возникать при наличии углов на графике функции. Например, если в точке есть вертикальная касательная, то производная не существует. Это важно, чтобы понимать, какие точки являются критическими. Для данных критических точек можно также включить отрезки, где функция постоянна (например, если на отрезке функции значения не меняются).

Шаг 4: Проверяем отрезки, где функция постоянна

Если функция постоянна на каком-то интервале, то её производная на этом интервале будет равна нулю. Например, отрезок $[-2; -1]$ может быть критическим, если на нём функция не изменяется. Производная будет равна нулю на всём отрезке.

5. Классификация точек критических точек

Чтобы классифицировать найденные критические точки (например, локальные максимумы и минимумы), мы можем использовать второй производный тест. Для каждой критической точки $x_0$:

• Если $f»(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ — локальный минимум.
• Если $f»(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ — локальный максимум.
• Если $f»(x_0) = 0$, то второй производный тест не даёт однозначного ответа, и нужно использовать другие методы.

Для примера:

• Точки $-7$, $-4$, и $-3$ могут быть локальными максимумами или минимумами, и мы можем использовать второй производный тест, чтобы их классифицировать.
• Точка отрезка $[-2; -1]$ будет рассматриваться как отрезок постоянной функции, и производная на нём равна нулю.

6. Итог:

Мы рассмотрели, что такое критические точки и как их находить:

1. Критические точки функции — это такие точки, где её производная равна нулю или не существует.
2. Критические точки могут быть локальными максимумами, минимумами, точками излома или отрезками, где функция постоянна.
3. Для точек, где производная равна нулю, нужно использовать второй производный тест для классификации.
4. Для отрезков, где функция постоянна, производная будет равна нулю на всём интервале.

В вашем случае данные критические точки: $-7$; $-4$; $-3$; $[-2; -1]$; $1$; $3$; $4$ — это гипотетический набор, для которого нужно провести анализ, используя вышеописанный подход.