ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 910 Алимов — Подробные Ответы

На рисунке 130 изображён график функции у = f (х). Найти точки максимума и минимума этой функции.

Точками локального максимума или минимума называются такие точки, в которых график функции меняет характер своей монотонности;

1. $x_1 = -5$, $x_2 = 5$ — точки максимума;
2. $x_3 = -2$, $x_4 = 3$ — точки минимума.

Точки локального максимума и минимума (локальные экстремумы) — это такие точки на графике функции, где функция меняет свой характер монотонности, то есть, например, из возрастания переходит в убывание или наоборот.

1. Определение понятия локальных экстремумов

• Локальный максимум функции в точке $x_0$ — это такая точка, в которой значения функции $f(x_0)$ больше, чем в окрестности этой точки (для всех $x$ в некоторой окрестности $x_0$).
• Локальный минимум функции в точке $x_0$ — это такая точка, в которой значения функции $f(x_0)$ меньше, чем в окрестности этой точки.

Графически, точка локального максимума — это пик на графике функции, а точка локального минимума — это впадина.

Для нахождения точек локального экстремума можно использовать производную функции.

2. Условия для нахождения локальных экстремумов

Чтобы найти точки локального максимума и минимума, нужно:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. Эти точки могут быть кандидатами на экстремумы:

   $$f'(x) = 0 \quad \text{или} \quad f'(x) \text{ не существует}.$$

3. Для каждой критической точки $x_0$ необходимо проверить её природу (максимум, минимум или седловая точка) с помощью второго производного теста.

3. Второй производный тест

Для критической точки $x_0$, если существует вторая производная $f»(x)$:

• Если $f»(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ локальный минимум.
• Если $f»(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ локальный максимум.
• Если $f»(x_0) = 0$, тест не даёт однозначного ответа, и нужно использовать другие методы (например, анализ третьей производной или исследование знаков производной в окрестности точки).

4. Пример

Предположим, что у нас есть функция $f(x)$, и нам нужно найти её локальные экстремумы.

Пример 1: Функция $f(x) = x^3 — 3x^2 + 4$

1. Найдем первую производную:

   $$f'(x) = 3x^2 — 6x.$$

2. Найдем критические точки:
   Для этого приравняем первую производную к нулю:

   $$3x^2 — 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x — 2) = 0.$$

   Таким образом, критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Проверим вторую производную:

   $$f»(x) = 6x — 6.$$

   Подставим в неё критические точки:

   • Для $x = 0$:

     $$f»(0) = 6(0) — 6 = -6 \quad (\text{отрицательная, значит, локальный максимум}).$$

   • Для $x = 2$:

     $$f»(2) = 6(2) — 6 = 6 \quad (\text{положительная, значит, локальный минимум}).$$

Таким образом, функция $f(x) = x^3 — 3x^2 + 4$ имеет локальный максимум в точке $x = 0$ и локальный минимум в точке $x = 2$.

5. Конкретное решение задачи

Теперь применим это к данным точкам, которые вы указали в вопросе.

• У нас есть точки $x_1 = -5$, $x_2 = 5$ — предполагается, что это точки максимума.
• Точки $x_3 = -2$, $x_4 = 3$ — предполагается, что это точки минимума.