ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 909 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях а функция у = ах3 + 3х2 — 2х + 5 убывает на всей числовой прямой?

$y = ax^3 + 3x^2 — 2x + 5$;

Производная функции:
$y'(x) = a \cdot (x^3)’ + 3 \cdot (x^2)’ — (2x — 5)’;$
$y'(x) = a \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x — 2 = 3ax^2 + 6x — 2;$

Функция убывает на всей числовой прямой:
$3a < 0, \text{отсюда } a < 0;$
$D = 6^2 + 4 \cdot 3a \cdot (-2) = 36 + 24a = 12 \cdot (3 + 2a) \leq 0;$
$3 + 2a \leq 0;$
$2a \leq -3, \text{отсюда } a \leq -1.5;$

Ответ: $a \leq -1.5$.

Нам дана функция:

$$y = ax^3 + 3x^2 — 2x + 5$$

Нужно определить, при каких значениях параметра $a$ функция убывает на всей числовой прямой.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы определить, при каких значениях $a$ функция убывает на всей числовой прямой, нужно найти её производную, так как функция будет убывать, если её производная меньше или равна нулю на всей числовой прямой.

Используем стандартные правила дифференцирования:

1. Производная от $ax^3$ по $x$ — это $3a \cdot x^2$, поскольку по правилу дифференцирования степенной функции $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$.
2. Производная от $3x^2$ по $x$ — это $6x$, так как по правилу дифференцирования $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
3. Производная от $-2x$ по $x$ — это просто $-2$, так как производная от линейной функции $ax$ по $x$ равна $a$, а здесь $a = -2$.
4. Производная от константы $5$ равна 0, поскольку производная от константы всегда равна нулю.

Таким образом, производная функции $y = ax^3 + 3x^2 — 2x + 5$ будет:

$$y'(x) = 3a \cdot x^2 + 6x — 2$$

Шаг 2: Условие убывания функции

Функция убывает на всей числовой прямой, если её производная $y'(x)$ меньше или равна нулю для всех значений $x$. То есть, нам нужно решить неравенство:

$$y'(x) \leq 0$$

Подставляем выражение для производной:

$$3a \cdot x^2 + 6x — 2 \leq 0$$

Шаг 3: Условие для параметра $a$

Теперь давайте рассмотрим, как зависит знак производной от параметра $a$. Для того чтобы производная была всегда неположительной (для убывания функции на всей числовой прямой), нужно, чтобы производная была либо равна нулю, либо отрицательной для всех $x$. Это будет выполняться при определённом значении $a$.

3.1. Рассмотрим случаи, когда параметр $a$ определяет знак производной

Производная функции — это квадратичная функция относительно $x$. Рассмотрим её форму:

$$y'(x) = 3a \cdot x^2 + 6x — 2$$

Если параметр $a$ положителен, то старший коэффициент при $x^2$ будет положительным, и парабола, описываемая производной, будет открываться вверх. В этом случае парабола может пересекать ось $x$ в двух точках, что приведёт к изменению знака производной (и, следовательно, функции, которая будет то возрастать, то убывать).

Чтобы функция была убывающей на всей числовой прямой, производная должна быть либо всегда отрицательной, либо всегда равной нулю. Это возможно, если коэффициент при $x^2$ (то есть $3a$) отрицателен, то есть если:

$$3a < 0 \quad \text{или} \quad a < 0$$

Таким образом, для того чтобы функция убывала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы $a$ было отрицательным.

3.2. Условие для дискриминанта

Для того чтобы производная была всегда меньше или равна нулю (то есть чтобы парабола не пересекала ось $x$), дискриминант квадратичной функции должен быть меньше или равен нулю. Дискриминант для квадратного уравнения $3a \cdot x^2 + 6x — 2 = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

где $A = 3a$, $B = 6$, $C = -2$. Подставляем эти значения:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 3a \cdot (-2) = 36 + 24a$$

Чтобы функция была убывающей на всей числовой прямой, дискриминант должен быть меньше или равен нулю:

$$36 + 24a \leq 0$$

Решаем неравенство:

$$24a \leq -36$$

Делим обе части на 24:

$$a \leq -\frac{36}{24} = -1.5$$

Шаг 4: Ответ

Для того чтобы функция $y = ax^3 + 3x^2 — 2x + 5$ убывала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы параметр $a$ удовлетворял неравенству:

$$a \leq -1.5$$

Ответ:

$$a \leq -1.5$$