ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 907 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях а функция возрастает на всей числовой прямой:

1. у — х3 — ах;
2. у = ах — sin х?

1. $y = x^3 — ax$;
   $y'(x) = (x^3)’ — a \cdot (x)’ = 3x^2 — a$;
   Функция возрастает на всей числовой прямой:
   $3x^2 — a \geq 0$;
   $3x^2 \geq a$;
   $x^2 \geq \frac{a}{3}$;
   Ответ: $a \leq 0$;
2. $y = ax — \sin x$;
   $y'(x) = a \cdot (x)’ — (\sin x)’ = a — \cos x$;
   Функция возрастает на всей числовой прямой:
   $a — \cos x \geq 0$;
   $\cos x \leq a$;
   Ответ: $a \geq 1$.

Задача 1

Дана функция:

$$y = x^3 — ax$$

Нужно найти, при каких значениях параметра $a$ функция возрастает на всей числовой прямой.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Производная функции $y = x^3 — ax$ по $x$ определяется по стандартным правилам дифференцирования:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — a \cdot \frac{d}{dx}(x)$$

• Производная $x^3$ по $x$ равна $3x^2$, так как по правилу дифференцирования степенной функции $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$.
• Производная $-ax$ по $x$ равна $-a$, так как производная от линейной функции $ax$ равна $a$.

Следовательно:

$$y'(x) = 3x^2 — a$$

Шаг 2: Условие возрастания функции

Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная $y'(x)$ всегда больше или равна нулю, то есть:

$$y'(x) \geq 0$$

Подставим выражение для производной:

$$3x^2 — a \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$3x^2 \geq a$$

Теперь делим обе части неравенства на 3:

$$x^2 \geq \frac{a}{3}$$

Шаг 3: Анализ неравенства

Неравенство $x^2 \geq \frac{a}{3}$ будет выполняться при любых $x$, если $\frac{a}{3} \leq 0$, поскольку квадрат любого числа $x^2$ всегда неотрицателен.

Таким образом, чтобы неравенство $x^2 \geq \frac{a}{3}$ выполнялось для всех $x \in \mathbb{R}$, необходимо, чтобы:

$$\frac{a}{3} \leq 0$$

или, что то же самое:

$$a \leq 0$$

Шаг 4: Ответ

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы $a \leq 0$.

Ответ для задачи 1:

$$a \leq 0$$

Задача 2

Дана функция:

$$y = ax — \sin x$$

Нужно найти, при каких значениях параметра $a$ функция возрастает на всей числовой прямой.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Производная функции $y = ax — \sin x$ по $x$ также определяется по стандартным правилам дифференцирования:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(ax) — \frac{d}{dx}(\sin x)$$

• Производная $ax$ по $x$ равна $a$, так как производная от линейной функции $ax$ равна $a$.
• Производная $-\sin x$ по $x$ равна $-\cos x$, так как производная синуса равна косинусу, и знак минус остается.

Следовательно:

$$y'(x) = a — \cos x$$

Шаг 2: Условие возрастания функции

Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная $y'(x)$ всегда больше или равна нулю, то есть:

$$y'(x) \geq 0$$

Подставим выражение для производной:

$$a — \cos x \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$a \geq \cos x$$

Шаг 3: Анализ неравенства

Косинус функции $\cos x$ принимает значения в интервале от $-1$ до $1$, то есть:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

Чтобы неравенство $a \geq \cos x$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы $a$ было не меньше, чем максимальное значение $\cos x$, которое равно 1. То есть:

$$a \geq 1$$

Шаг 4: Ответ

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы $a \geq 1$.

Ответ для задачи 2:

$$a \geq 1$$

Итоговое решение:

1. Для задачи 1: функция возрастает на всей числовой прямой при $a \leq 0$.
2. Для задачи 2: функция возрастает на всей числовой прямой при $a \geq 1$.