ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 905 Алимов — Подробные Ответы

1. у= х — sin 2х;
2. у = 3х + 2 cos Зх.

$y = x — \sin 2x$;

$y'(x) = (x)’ — (\sin 2x)’ = 1 — 2 \cos 2x$;

Промежуток убывания:

$1 — 2 \cos 2x < 0$;

$2 \cos 2x > 1$;

$\cos 2x > \frac{1}{2}$;

$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < 2x < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$;

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Ответ: возрастает на $\left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$;

убывает на $\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$.

$y = 3x + 2 \cos 3x$;

$y'(x) = (3x)’ + 2 \cdot (\cos 3x)’$;

$y'(x) = 3 + 2 \cdot (-3 \sin 3x) = 3 \cdot (1 — 2 \sin 3x)$;

Промежуток убывания:

$1 — 2 \sin 3x < 0$;

$2 \sin 3x > 1$;

$\sin 3x > \frac{1}{2}$;

$\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < 3x < \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$;

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;

$\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: возрастает на $\left( -\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$;

убывает на $\left( \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$.

1. $y = x — \sin 2x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$$y = x — \sin 2x$$

Применяем правило дифференцирования для суммы и разности:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(\sin 2x)$$

Дифференцируем каждый член:

• Производная $x$ по $x$ равна $1$, то есть $\frac{d}{dx}(x) = 1$.
• Для $\sin 2x$ используем цепное правило: $\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x$, так как производная синуса равна косинусу, а производная $2x$ по $x$ равна 2.

Итак:

$$y'(x) = 1 — 2 \cos 2x$$

Шаг 2: Найдём промежутки возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания и убывания зависят от знака производной $y'(x)$. Для убывания нужно найти промежутки, где $y'(x) < 0$.

$$1 — 2 \cos 2x < 0$$

Решаем неравенство:

$$-2 \cos 2x < -1$$

Делим обе части на $-2$ и меняем знак неравенства:

$$\cos 2x > \frac{1}{2}$$

Теперь решим это неравенство относительно $x$.

Косинус больше $\frac{1}{2}$, когда угол $2x$ лежит в интервале между $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$ в пределах одного периода, то есть:

$$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < 2x < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Разделим на 2:

$$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Таким образом, $y(x)$ убывает на интервале:

$$\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$$

А возрастает на промежутке, который является дополнением:

$$\left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$$

Ответ для первого примера:

• Возрастает на $\left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$
• Убывает на $\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$

2. $y = 3x + 2 \cos 3x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$$y = 3x + 2 \cos 3x$$

Дифференцируем каждый член:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(3x) + 2 \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x)$$

• Производная $3x$ по $x$ равна $3$, то есть $\frac{d}{dx}(3x) = 3$.
• Для $\cos 3x$ применяем цепное правило: производная $\cos u$ по $u$ равна $-\sin u$, а производная $3x$ по $x$ равна $3$. Таким образом:

$$\frac{d}{dx}(\cos 3x) = -3 \sin 3x$$

Итак:

$$y'(x) = 3 — 6 \sin 3x$$

Шаг 2: Найдём промежутки возрастания и убывания функции

Для нахождения промежутков возрастания и убывания нужно исследовать знак производной $y'(x) = 3 — 6 \sin 3x$.

Промежутки убывания:

$$3 — 6 \sin 3x < 0$$

Решим это неравенство:

$$-6 \sin 3x < -3$$

Делим обе части на $-6$ и меняем знак неравенства:

$$\sin 3x > \frac{1}{2}$$

Теперь решим неравенство для синуса. $\sin 3x > \frac{1}{2}$ при $3x$ в интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$, а также с учётом периодичности:

$$\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < 3x < \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Поскольку $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, это неравенство можно записать как:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Теперь делим на 3:

$$\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$$

Таким образом, функция убывает на интервале:

$$\left( \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$$

Ответ для второго примера:

• Возрастает на $\left( -\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$
• Убывает на $\left( \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$