ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 905 Алимов — Подробные Ответы

Задача

у= х — sin 2х;
у = 3х + 2 cos Зх.

Краткий ответ:

$y = x — \sin 2x$ ;

$y'(x) = (x)’ — (\sin 2x)’ = 1 — 2 \cos 2x$ ;

Промежуток убывания:

$1 — 2 \cos 2x < 0$ ;

$2 \cos 2x > 1$ ;

$\cos 2x > \frac{1}{2}$ ;

$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < 2x < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$ ;

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ ;

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$ ;

Ответ: возрастает на $\left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$ ;

убывает на $\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$ .

$y = 3x + 2 \cos 3x$ ;

$y'(x) = (3x)’ + 2 \cdot (\cos 3x)’$ ;

$y'(x) = 3 + 2 \cdot (-3 \sin 3x) = 3 \cdot (1 — 2 \sin 3x)$ ;

Промежуток убывания:

$1 — 2 \sin 3x < 0$ ;

$2 \sin 3x > 1$ ;

$\sin 3x > \frac{1}{2}$ ;

$\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < 3x < \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$ ;

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ ;

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ ;

$\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$ ;

Ответ: возрастает на $\left( -\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$ ;

убывает на $\left( \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$ .

Подробный ответ:

1. $y = x — \sin 2x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$y = x — \sin 2x$

Применяем правило дифференцирования для суммы и разности:

$y'(x) = \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(\sin 2x)$

Дифференцируем каждый член:

Производная $x$ по $x$ равна $1$ , то есть $\frac{d}{dx}(x) = 1$ .
Для $\sin 2x$ используем цепное правило: $\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x$ , так как производная синуса равна косинусу, а производная $2x$ по $x$ равна 2.

Итак:

$y'(x) = 1 — 2 \cos 2x$

Шаг 2: Найдём промежутки возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания и убывания зависят от знака производной $y'(x)$ . Для убывания нужно найти промежутки, где $y'(x) < 0$ .

$1 — 2 \cos 2x < 0$

Решаем неравенство:

$-2 \cos 2x < -1$

Делим обе части на $-2$ и меняем знак неравенства:

$\cos 2x > \frac{1}{2}$

Теперь решим это неравенство относительно $x$ .

Косинус больше $\frac{1}{2}$ , когда угол $2x$ лежит в интервале между $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$ в пределах одного периода, то есть:

$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < 2x < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$ $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим на 2:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$

Таким образом, $y(x)$ убывает на интервале:

$\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$

А возрастает на промежутке, который является дополнением:

$\left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$

Ответ для первого примера:

Возрастает на $\left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$
Убывает на $\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$

2. $y = 3x + 2 \cos 3x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$y = 3x + 2 \cos 3x$

Дифференцируем каждый член:

$y'(x) = \frac{d}{dx}(3x) + 2 \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x)$

Производная $3x$ по $x$ равна $3$ , то есть $\frac{d}{dx}(3x) = 3$ .
Для $\cos 3x$ применяем цепное правило: производная $\cos u$ по $u$ равна $-\sin u$ , а производная $3x$ по $x$ равна $3$ . Таким образом:

$\frac{d}{dx}(\cos 3x) = -3 \sin 3x$

Итак:

$y'(x) = 3 — 6 \sin 3x$

Шаг 2: Найдём промежутки возрастания и убывания функции

Для нахождения промежутков возрастания и убывания нужно исследовать знак производной $y'(x) = 3 — 6 \sin 3x$ .

Промежутки убывания:

$3 — 6 \sin 3x < 0$

Решим это неравенство:

$-6 \sin 3x < -3$

Делим обе части на $-6$ и меняем знак неравенства:

$\sin 3x > \frac{1}{2}$

Теперь решим неравенство для синуса. $\sin 3x > \frac{1}{2}$ при $3x$ в интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$ , а также с учётом периодичности:

$\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < 3x < \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$

Поскольку $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ , это неравенство можно записать как:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Теперь делим на 3:

$\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$

Таким образом, функция убывает на интервале:

$\left( \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$

Ответ для второго примера:

Возрастает на $\left( -\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$
Убывает на $\left( \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \right)$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы