ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 902 Алимов — Подробные Ответы

Найти промежутки возрастания и убывания функции (902-905).

1. y=1/(x+2);
2. y=1+2/x;
3. y=- корень (x-3);
4. y=1+3 корень (x-5).

$y = \frac{1}{x+2}$;

$y’ = (x+2)^{-1′} = -1 \cdot (x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

Промежуток возрастания:

$-\frac{1}{(x+2)^2} > 0$;

$-1 > 0$ — корней нет;

Ответ: убывает на $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

$y = 1 + \frac{2}{x}$;

$y'(x) = (1)’ + 2 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)’ = 0 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^2}$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0$;

Промежуток возрастания:

$-\frac{2}{x^2} > 0$;

$-2 > 0$ — корней нет;

Ответ: убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

$y = -\sqrt{x-3}$;

$y'(x) = -(x-3)^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot (x-3)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 3 \geq 0$, отсюда $x \geq 3$;

Промежуток возрастания:

$-\frac{1}{2\sqrt{x-3}} > 0$;

$-1 > 0$ — корней нет;

Ответ: убывает на $(3; +\infty)$.

$y = 1 + 3\sqrt{x-5}$;

$y'(x) = (1)’ + 3 \cdot (x-5)^{\frac{1}{2}} = 0 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (x-5)^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x-5}}$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 5 \geq 0$, отсюда $x \geq 5$;

Промежуток возрастания:

$\frac{3}{2\sqrt{x-5}} > 0$;

$3 > 0$ — при любом $x$;

Ответ: возрастает на $(5; +\infty)$.

1) $y = \frac{1}{x+2}$

Шаг 1. Найдем производную функции $y$.

Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{x+2}$, представим её в виде степени:

$$y = (x + 2)^{-1}$$

Теперь применим правило дифференцирования степенной функции $\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}$:

$$y’ = -1 \cdot (x + 2)^{-2} = -\frac{1}{(x + 2)^2}$$

Шаг 2. Условия существования функции и производной.

Функция $y = \frac{1}{x+2}$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю, то есть:

$$x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2$$

Таким образом, функция определена при $x \neq -2$.

Шаг 3. Определение промежутков возрастания или убывания.

Нам нужно определить, на каком промежутке функция возрастает или убывает. Для этого анализируем знак производной $y’ = -\frac{1}{(x + 2)^2}$.

Так как квадрат числа всегда положителен, а знак минус перед дробью делает её отрицательной, то:

$$y’ = -\frac{1}{(x + 2)^2} < 0$$

Таким образом, производная всегда отрицательна на всей области определения функции (кроме точки $x = -2$, где функция не определена). Это означает, что функция убывает на всём промежутке, где она существует.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2) $y = 1 + \frac{2}{x}$

Шаг 1. Найдем производную функции $y$.

Запишем производную функции $y = 1 + \frac{2}{x}$, где первая часть — это постоянная $1$, а вторая — дробь. Для производной постоянной части:

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

Теперь вычислим производную от второй части $\frac{2}{x}$. Используем правило для производной дроби $\frac{1}{x}$, которое даёт:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^2}$$

Таким образом, полная производная будет:

$$y’ = 0 + \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^2}$$

Шаг 2. Условия существования функции и производной.

Функция $y = 1 + \frac{2}{x}$ имеет смысл при $x \neq 0$, так как при $x = 0$ дробь $\frac{2}{x}$ становится неопределённой.

Шаг 3. Определение промежутков возрастания или убывания.

Анализируем знак производной $y’ = -\frac{2}{x^2}$. Мы видим, что $x^2$ всегда положительно для всех $x \neq 0$, следовательно, $y’$ всегда отрицательно:

$$y’ < 0 \quad \text{для всех} \quad x \neq 0$$

Таким образом, функция всегда убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $y = -\sqrt{x — 3}$

Шаг 1. Найдем производную функции $y$.

Для функции $y = -\sqrt{x — 3}$ представим её как степень:

$$y = -(x — 3)^{\frac{1}{2}}$$

Теперь применим правило дифференцирования степенной функции:

$$y’ = -\frac{1}{2} \cdot (x — 3)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x — 3}}$$

Шаг 2. Условия существования функции и производной.

Функция $y = -\sqrt{x — 3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$$x — 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3$$

Таким образом, функция определена при $x \geq 3$.

Шаг 3. Определение промежутков возрастания или убывания.

Анализируем знак производной $y’ = -\frac{1}{2\sqrt{x — 3}}$. Поскольку знаменатель $2\sqrt{x — 3}$ всегда положителен при $x > 3$, знак производной определяется знаком минус в числителе:

$$y’ < 0 \quad \text{для всех} \quad x > 3$$

Это означает, что функция убывает на интервале $(3; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на $(3; +\infty)$.

4) $y = 1 + 3\sqrt{x — 5}$

Шаг 1. Найдем производную функции $y$.

Для функции $y = 1 + 3\sqrt{x — 5}$ разложим её на две части:

1. Производная от константы $1$ равна 0.
2. Для производной от $3\sqrt{x — 5}$ используем правило дифференцирования корня:

$$\frac{d}{dx}\left( 3(x — 5)^{\frac{1}{2}} \right) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (x — 5)^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x — 5}}$$

Таким образом, полная производная будет:

$$y’ = 0 + \frac{3}{2\sqrt{x — 5}} = \frac{3}{2\sqrt{x — 5}}$$

Шаг 2. Условия существования функции и производной.

Функция $y = 1 + 3\sqrt{x — 5}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$$x — 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5$$

Таким образом, функция определена при $x \geq 5$.

Шаг 3. Определение промежутков возрастания или убывания.

Анализируем знак производной $y’ = \frac{3}{2\sqrt{x — 5}}$. Так как $2\sqrt{x — 5}$ всегда положительно для $x \geq 5$, то производная всегда положительна:

$$y’ > 0 \quad \text{для всех} \quad x \geq 5$$

Это означает, что функция возрастает на интервале $(5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(5; +\infty)$.

Итоговые ответы:

1. Убывает на $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
2. Убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Убывает на $(3; +\infty)$.
4. Возрастает на $(5; +\infty)$.