ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 900 Алимов — Подробные Ответы

Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1. у = х2 — х;
2. у = 5х2 — 3х — 1;
3. у = х2 + 2х;
4. у = х2 + 12х — 100;
5. у — х3 — 3х;
6. у = х4 — 2х2;
7. у = 2х3 — Зх2 — 36х + 40;
8. у = х3 — 6х2 + 9.

1. $y = x^2 — x$;
   $y'(x) = (x^2)’ — (x)’ = 2x — 1$;
   Промежуток возрастания:
   $2x — 1 > 0$;
   $2x > 1$, отсюда $x > 0,5$;
   Ответ: возрастает на $(0,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0,5)$.
2. $y = 5x^2 — 3x — 1$;
   $y'(x) = 5(x^2)’ — (3x + 1)’ = 5 \cdot 2x — 3 = 10x — 3$;
   Промежуток возрастания:
   $10x — 3 > 0$;
   $10x > 3$, отсюда $x > 0,3$;
   Ответ: возрастает на $(0,3; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0,3)$.
3. $y = x^2 + 2x$;
   $y'(x) = (x^2)’ + (2x)’ = 2x + 2 = 2(x + 1)$;
   Промежуток возрастания:
   $x + 1 > 0$, отсюда $x > -1$;
   Ответ: возрастает на $(-1; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -1)$.
4. $y = x^2 + 12x — 100$;
   $y'(x) = (x^2)’ + (12x — 100)’ = 2x + 12 = 2(x + 6)$;
   Промежуток возрастания:
   $x + 6 > 0$, отсюда $x > -6$;
   Ответ: возрастает на $(-6; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -6)$.
5. $y = x^3 — 3x$;
   $y'(x) = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3 = 3(x^2 — 1)$;
   Промежуток возрастания:
   $x^2 — 1 > 0$;
   $x^2 > 1$;
   $x < -1$ или $x > 1$;
   Ответ: возрастает на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и убывает на $(-1; 1)$.
6. $y = x^4 — 2x^2$;
   $y'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ = 4x^3 — 2 \cdot 2x = 4x^3 — 4x$;
   Промежуток возрастания:
   $4x^3 — 4x > 0$;
   $4x(x^2 — 1) > 0$;
   $(x + 1) \cdot 4x \cdot (x — 1) > 0$;
   $-1 < x < 0$ или $x > 1$;
   Ответ: возрастает на $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$.
7. $y = 2x^3 — 3x^2 — 36x + 40$;
   $y'(x) = 2(x^3)’ — 3(x^2)’ — (36x — 40)’$;
   $y'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x — 36 = 6x^2 — 6x — 36$;
   Промежуток возрастания:
   $6x^2 — 6x — 36 > 0$;
   $x^2 — x — 6 > 0$;
   $D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
   $x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$;
   $(x + 2)(x — 3) > 0$;
   $x < -2$ или $x > 3$;
   Ответ: возрастает на $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ и убывает на $(-2; 3)$.
8. $y = x^3 — 6x^2 + 9$;
   $y'(x) = (x^3)’ — 6(x^2)’ + (9)’$;
   $y'(x) = 3x^2 — 6 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 12x$;
   Промежуток возрастания:
   $3x^2 — 12x \geq 0$;
   $3x \cdot (x — 4) \geq 0$;
   $x < 0$ или $x > 4$;
   Ответ: возрастает на $(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$ и убывает на $(0; 4)$.

$y = x^2 — x$;

Мы начинаем с нахождения производной функции $y$.
Производная $y(x)$ будет равна:

$$y'(x) = (x^2)’ — (x)’ = 2x — 1$$

Теперь для нахождения промежутков возрастания и убывания, находим, где производная больше нуля (возрастание) или меньше нуля (убывание).

Промежуток возрастания:

$$2x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x > 1 \quad \Rightarrow \quad x > 0,5$$

Промежуток убывания:

$$2x — 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad 2x < 1 \quad \Rightarrow \quad x < 0,5$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(0,5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0,5)$.

$y = 5x^2 — 3x — 1$;

Находим производную функции:

$$y'(x) = 5(x^2)’ — (3x + 1)’ = 5 \cdot 2x — 3 = 10x — 3$$

Для нахождения промежутков возрастания:

$$10x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad 10x > 3 \quad \Rightarrow \quad x > 0,3$$

Для нахождения промежутков убывания:

$$10x — 3 < 0 \quad \Rightarrow \quad 10x < 3 \quad \Rightarrow \quad x < 0,3$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(0,3; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0,3)$.

$y = x^2 + 2x$;

Находим производную функции:

$$y'(x) = (x^2)’ + (2x)’ = 2x + 2 = 2(x + 1)$$

Для нахождения промежутков возрастания:

$$x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1$$

Для нахождения промежутков убывания:

$$x + 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < -1$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1)$.

$y = x^2 + 12x — 100$;

Находим производную функции:

$$y'(x) = (x^2)’ + (12x — 100)’ = 2x + 12 = 2(x + 6)$$

Для нахождения промежутков возрастания:

$$x + 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -6$$

Для нахождения промежутков убывания:

$$x + 6 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < -6$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(-6; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -6)$.

$y = x^3 — 3x$;

Находим производную функции:

$$y'(x) = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3 = 3(x^2 — 1)$$

Для нахождения промежутков возрастания:

$$x^2 — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > 1$$

Решение неравенства:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1$$

Для нахождения промежутков убывания:

$$x^2 — 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad -1 < x < 1$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-1; 1)$.

$y = x^4 — 2x^2$;

Находим производную функции:

$$y'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ = 4x^3 — 2 \cdot 2x = 4x^3 — 4x$$

Для нахождения промежутков возрастания:

$$4x^3 — 4x > 0 \quad \Rightarrow \quad 4x(x^2 — 1) > 0$$

Разлагаем выражение:

$$4x(x + 1)(x — 1) > 0$$

Для решения этого неравенства находим промежутки:

$$-1 < x < 0 \quad \text{или} \quad x > 1$$

Для нахождения промежутков убывания:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad 0 < x < 1$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

$y = 2x^3 — 3x^2 — 36x + 40$;

Находим производную функции:

$$y'(x) = 2(x^3)’ — 3(x^2)’ — (36x — 40)’ = 6x^2 — 6x — 36$$

Для нахождения промежутков возрастания:

$$6x^2 — 6x — 36 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x — 6 > 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Тогда корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = 3$$

Получаем промежутки:

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Для нахождения промежутков убывания:

$$-2 < x < 3$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-2; 3)$.

$y = x^3 — 6x^2 + 9$;

Находим производную функции:

$$y'(x) = (x^3)’ — 6(x^2)’ + (9)’ = 3x^2 — 12x$$

Для нахождения промежутков возрастания:

$$3x^2 — 12x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x — 4) \geq 0$$

Для решения этого неравенства:

$$x < 0 \quad \text{или} \quad x > 4$$

Для нахождения промежутков убывания:

$$0 < x < 4$$

Ответ:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$ и убывает на промежутке $(0; 4)$.