ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 9 Алимов — Подробные Ответы

1) $(\sqrt{8} — 3)(3 + 2\sqrt{2})$

$$= 3\sqrt{8} + 2\sqrt{16} — 9 — 6\sqrt{2}$$

$$= 3 \cdot 2\sqrt{2} + 2 \cdot 4 — 9 — 6\sqrt{2}$$

$$= 6\sqrt{2} + 8 — 9 — 6\sqrt{2} = -1$$

Ответ: рациональным.

2) $(\sqrt{27} — 2)(2 — 3\sqrt{3})$

$$= 2\sqrt{27} — 3\sqrt{81} — 4 + 6\sqrt{3}$$

$$= 2 \cdot 3\sqrt{3} — 3 \cdot 9 — 4 + 6\sqrt{3}$$

$$= 6\sqrt{3} — 27 — 4 + 6\sqrt{3}$$

$$= 12\sqrt{3} — 31$$

Ответ: иррациональным.

3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

$$= \sqrt{100} + 4\sqrt{4}$$

$$= 10 + 4 \cdot 2 = 10 + 8 = 18$$

Ответ: рациональным.

4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$

$$= 5 + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$$

Ответ: рациональным.

5) $(\sqrt{3} — 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2$

$$= (3 — 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)$$

$$= 4 — 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 8$$

Ответ: рациональным.

6) $(5 — 2\sqrt{5} — 1)(2\sqrt{5} + 1)^2$

$$= (5 — 2\sqrt{5} + 1) — (4 \cdot 5 + 4\sqrt{5} + 1)$$

$$= 6 — 2\sqrt{5} — 21 — 4\sqrt{5}$$

$$= -15 — 6\sqrt{5}$$

Ответ: иррациональным.

1) $(\sqrt{8} — 3)(3 + 2\sqrt{2})$

Раскрываем скобки, используя распределительное свойство:

$$(\sqrt{8} — 3)(3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{8} \cdot 3 + \sqrt{8} \cdot 2\sqrt{2} — 3 \cdot 3 — 3 \cdot 2\sqrt{2}$$

Вычисляем каждое слагаемое:

$$3\sqrt{8} + 2\sqrt{16} — 9 — 6\sqrt{2}$$

Заменяем корни:

$$3 \cdot 2\sqrt{2} + 2 \cdot 4 — 9 — 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 8 — 9 — 6\sqrt{2}$$

Слагаемые с корнем взаимно уничтожаются:

$$8 — 9 = -1$$

Ответ: число рациональное.

2) $(\sqrt{27} — 2)(2 — 3\sqrt{3})$

Раскрываем скобки:

$$\sqrt{27} \cdot 2 + \sqrt{27} \cdot (-3\sqrt{3}) — 2 \cdot 2 — 2 \cdot (-3\sqrt{3})$$

$$= 2\sqrt{27} — 3\sqrt{81} — 4 + 6\sqrt{3}$$

Подставляем значения корней:

$$2 \cdot 3\sqrt{3} — 3 \cdot 9 — 4 + 6\sqrt{3}$$

$$= 6\sqrt{3} — 27 — 4 + 6\sqrt{3}$$

$$= 12\sqrt{3} — 31$$

Так как $12\sqrt{3}$иррационально, то всё выражение тоже иррационально.
Ответ: число иррациональное.

3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Раскрываем скобки:

$$\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$$

$$= \sqrt{100} + 4\sqrt{4}$$

$$= 10 + 4 \cdot 2 = 10 + 8 = 18$$

Ответ: число рациональное.

4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3}$

Разделяем на $\sqrt{3}$:

$$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$$

$$= 5 + \sqrt{\frac{27}{3}}$$

$$= 5 + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$$

Ответ: число рациональное.

5) $(\sqrt{3} — 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2$

Используем формулу квадрата суммы:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2, \quad (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(\sqrt{3} — 1)^2 = 3 — 2\sqrt{3} + 1$$

$$(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1$$

Складываем:

$$(3 — 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)$$

$$= 4 — 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}$$

$$= 8$$

Ответ: число рациональное.

6) $(\sqrt{5} — 1)^2 — (2\sqrt{5} + 1)^2$

Используем формулу квадрата разности:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

$$(\sqrt{5} — 1)^2 = 5 — 2\sqrt{5} + 1 = 6 — 2\sqrt{5}$$

$$(2\sqrt{5} + 1)^2 = 4 \cdot 5 + 4\sqrt{5} + 1 = 20 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5}$$

Вычитаем:

$$(6 — 2\sqrt{5}) — (21 + 4\sqrt{5})$$

$$= 6 — 2\sqrt{5} — 21 — 4\sqrt{5}$$

$$= -15 — 6\sqrt{5}$$

Так как $6\sqrt{5}$иррационально, то всё выражение тоже иррационально.
Ответ: число иррациональное.