ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 899 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что функция f(x) = x2 + 2/x возрастает на промежутке (1; +бесконечность), убывает на промежутках (-бесконечность; 0) и (0; 1).

$$f(x) = x^2 + \frac{2}{x};$$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^2)’ + 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = 2x — \frac{2}{x^2} = 2 \cdot \left( x — \frac{1}{x^2} \right);$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0;$$

Промежуток возрастания:

$$x — \frac{1}{x^2} > 0;$$ $$x^3 — 1 > 0;$$ $$x^3 > 1;$$ $$x > 1;$$

Функция возрастает на интервале $(1; +\infty)$ и убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 1)$.

$$f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$$

Цель — найти производную функции, исследовать ее на возрастание и убывание, а также определить промежутки возрастания и убывания функции.

1. Нахождение производной функции

Начнем с нахождения производной функции $f(x)$. Функция состоит из двух частей: $x^2$ и $\frac{2}{x}$. Для нахождения производной будем использовать стандартные правила дифференцирования.

1.1 Производная от $x^2$

Производная от $x^2$ — это стандартное правило, производная степени $x$ равна $nx^{n-1}$, где $n = 2$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x.$$

1.2 Производная от $\frac{2}{x}$

Для второго члена, $\frac{2}{x}$, используем правило для производной от дроби. Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$, поэтому для $\frac{2}{x}$ она будет равна:

$$\frac{d}{dx}\left( \frac{2}{x} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{2}{x^2}.$$

1.3 Итоговая производная

Теперь мы можем сложить производные обоих частей:

$$f'(x) = 2x — \frac{2}{x^2}.$$

Это и есть производная функции $f(x)$.

2. Условия, при которых выражение имеет смысл

Для того чтобы функция $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ и ее производная имели смысл, нам необходимо, чтобы значение $x$ не равно нулю, так как дробь $\frac{2}{x}$ определена только при $x \neq 0$. Таким образом, выражение для производной имеет смысл при:

$$x \neq 0.$$

3. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно исследовать знак производной $f'(x)$.

3.1 Нахождение критических точек

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, необходимо исследовать знак производной. Начнем с того, что при $f'(x) = 0$ можем найти критические точки функции, где возможно изменение знака производной.

Решаем уравнение:

$$f'(x) = 2x — \frac{2}{x^2} = 0.$$

Для удобства, умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 \cdot \left( 2x — \frac{2}{x^2} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^3 — 2 = 0.$$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$2x^3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1.$$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = 1$.

3.2 Исследование знака производной

Для того чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает или убывает, исследуем знак производной $f'(x) = 2x — \frac{2}{x^2}$ на промежутках, которые получаются при выделении критической точки $x = 1$.

Наша область, где функция определена, это $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Разделим ее на три интервала, которые зависят от критической точки:

• $(-\infty, 0)$
• $(0, 1)$
• $(1, +\infty)$

Будем проверять знак производной на этих интервалах.

3.2.1 На интервале $(-\infty, 0)$

Выберем точку $x = -1$ в интервале $(-\infty, 0)$ и подставим ее в производную $f'(x)$:

$$f'(-1) = 2(-1) — \frac{2}{(-1)^2} = -2 — 2 = -4.$$

Так как производная отрицательная, функция убывает на интервале $(-\infty, 0)$.

3.2.2 На интервале $(0, 1)$

Выберем точку $x = \frac{1}{2}$ в интервале $(0, 1)$ и подставим ее в производную:

$$f’\left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} — \frac{2}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} = 1 — 8 = -7.$$

Так как производная отрицательная, функция продолжает убывать на интервале $(0, 1)$.

3.2.3 На интервале $(1, +\infty)$

Выберем точку $x = 2$ в интервале $(1, +\infty)$ и подставим ее в производную:

$$f'(2) = 2 \cdot 2 — \frac{2}{2^2} = 4 — \frac{2}{4} = 4 — 0.5 = 3.5.$$

Так как производная положительная, функция возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

4. Промежутки возрастания и убывания

Итак, мы исследовали знак производной на каждом из интервалов:

• На интервале $(-\infty, 0)$ функция убывает, потому что производная отрицательная.
• На интервале $(0, 1)$ функция убывает, потому что производная также отрицательная.
• На интервале $(1, +\infty)$ функция возрастает, так как производная положительная.

5. Ответ

Таким образом, функция $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ возрастает на интервале $(1, +\infty)$ и убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$.

Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на $(1; +\infty)$
• Функция убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; 1)$