ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 898 Алимов — Подробные Ответы

Две параллельные касательные к графику функции у = х3 — 6 пересекают оси координат: одна — в точках А и В, другая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если она в 4 раза меньше площади треугольника COD.

$f(x)=x^3-6$;

Уравнение первой касательной:
$f^{\mathrm{\prime }}(a)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(6{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-0=3a^2$;
$f(a)=a^3-6$;
$y_1=a^3-6+3a^2\cdot (x-a)$;
$y_1=a^3-6+3x{a}^2-3a^3$;
$y_1=3x{a}^2-2a^3-6$;

Уравнение второй касательной:
$y_2=3x{b}^2-2b^3-6$;

Ординаты точек $A$ и $C$:
$y_1(0)=3\cdot 0\cdot a^2-2a^3-6=-2a^3-6$;
$y_2(0)=-2b^3-6$;

Абсциссы точек $B$ и $D$:
$3x{a}^2-2a^3-6=0$;
$3x{a}^2=2a^3+6$;
$x_a=\frac{2}{3a}+\frac{2}{a^2}=\frac{2}{3}\cdot (a+\frac{3}{a^2})=\frac{2}{3}\cdot \frac{a^3+3}{a^2}$;
$x_b=\frac{2}{3}\cdot \frac{b^3+3}{b^2}$;

Площади отсекаемых касательными треугольников:
$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot (-2a^3-6)\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{a^3+3}{a^2}=\frac{a^3+3}{3a^2}\cdot (-2a^3-6)$;
$S_{AOB}=\frac{-2a^6-6a^3-18}{3a^2}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{a^6+6a^3+9}{a^2}=-\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{a^3+3}{a^2}\right)}^2$;
$S_{COD}=-\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{b^3+3}{b^2}\right)}^2$;

По условию задачи:

$$\{\begin{array}{l}3a^2=3b^2\\ -\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \frac{(a^3+3{)}^2}{a^2}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{(b^3+3{)}^2}{b^2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-b\\ \frac{4(a^3+3{)}^2}{a^2}=\frac{(b^3+3{)}^2}{b^2}\end{array}$$$$4((-b{)}^3+3{)}^2=\frac{(b^3+3{)}^2}{b^2};$$$$4(3-b^3{)}^2=\frac{(b^3+3{)}^2}{b^2};$$$$36-24b^3+4b^6=b^6+6b^3+9;$$$$3b^6-30b^3+27=0;$$$$b^6-10b^3+9=0;$$

Пусть $y=b^3$, тогда:

$$y^2-10y+9=0;$$$$D={10}^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{10-8}{2}=1\text{и}{y}_2=\frac{10+8}{2}=9;$$$$b_1=\sqrt[3]{1}=1\text{и}{b}_2=\sqrt[3]{9};$$$$a_1=-1\text{и}{a}_2=-\sqrt[3]{9};$$

Площадь треугольника $AOB$:

$$S_{AOB}=-\frac{2}{3}\cdot {((-1{)}^3+3)}^2\cdot \frac{1}{(-1{)}^2}=-\frac{2}{3}\cdot 2^2=-\frac{8}{3}=\frac{8}{3};$$$$S_{AOB}=-\frac{2}{3}\cdot {({(-\sqrt[3]{9})}^3+3)}^2\cdot \frac{1}{{(-\sqrt[3]{9})}^2}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{(-9+3{)}^2}{\sqrt[3]{9^2}}=$$

$$=-\frac{2}{3}\cdot \frac{36}{3\sqrt[3]{3}}=-\frac{8}{\sqrt[3]{3}}=\frac{8}{\sqrt[3]{3}};$$

Ответ:

1. $$\boxed{{\displaystyle \frac{8}{3}}}$$
2. $$\boxed{{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}}$$$$\frac{8}{\sqrt[3]{3}}$$

1. Исходная функция

Функция дана как:

$$f(x)=x^3-6$$

Наша цель — найти уравнения касательных к графику этой функции в некоторых точках и вычислить площади треугольников, отсекаемых этими касательными.

2. Нахождение производной функции

Чтобы найти уравнение касательной, нам необходимо знать производную функции $f(x)$. Это нужно для того, чтобы вычислить угловой коэффициент касательной.

Производная от функции $f(x)$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(6{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2$$

Таким образом, производная функции:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2$$

3. Уравнение первой касательной

Пусть точка касания будет $x=a$. Тогда угловой коэффициент касательной в этой точке равен $f^{\mathrm{\prime }}(a)=3a^2$.

Теперь найдем значение функции в точке $a$:

$$f(a)=a^3-6$$

Уравнение касательной в точке $a$ можно записать по формуле касательной:

$$y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$$

Подставляем значения:

$$y-(a^3-6)=3a^2(x-a)$$

Раскрываем скобки:

$$y-a^3+6=3a^{2}x-3a^3$$

Переносим все в одну сторону:

$$y=3a^{2}x-2a^3-6$$

Это уравнение первой касательной.

4. Уравнение второй касательной

Предположим, что вторая касательная касается графика функции в точке $x=b$. Тогда уравнение второй касательной будет аналогично первому, но с $b$ вместо $a$:

$$y=3b^{2}x-2b^3-6$$

5. Ординаты точек $A$ и $C$

Найдем ординаты точек $A$ и $C$, то есть значения функции касательных в точке $x=0$. Подставляем $x=0$ в уравнение первой касательной $y_1$:

$$y_1(0)=3\cdot 0\cdot a^2-2a^3-6=-2a^3-6$$

Аналогично для второй касательной:

$$y_2(0)=-2b^3-6$$

Это ординаты точек $A$ и $C$.

6. Абсциссы точек $B$ и $D$

Теперь найдем абсциссы точек $B$ и $D$, то есть $x$-координаты точек пересечения касательных с осью $x$ (где $y=0$).

Для первой касательной:

$$3x{a}^2-2a^3-6=0$$

Решаем относительно $x$:

$$3x{a}^2=2a^3+6$$$$x_a=\frac{2a^3+6}{3a^2}=\frac{2}{3a}+\frac{2}{a^2}$$

Можно представить это как:

$$x_a=\frac{2}{3}\cdot (a+\frac{3}{a^2})$$

Для второй касательной аналогично:

$$x_b=\frac{2}{3}\cdot \frac{b^3+3}{b^2}$$

7. Площадь треугольников, отсекаемых касательными

Теперь вычислим площади треугольников, которые отсекаются касательными от осей.

Для первой касательной площадь треугольника $AOB$ (где $O$ — начало координат):

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot \mid \text{основание}\mid \cdot \mid \text{высота}\mid$$

Основанием будет расстояние от точки $B$ до начала координат, то есть $x_a$, а высотой — ордината точки $A$, то есть $y_1(0)$.
Тогда площадь будет:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot (-2a^3-6)\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{a^3+3}{a^2}$$

Упрощаем выражение:

$$S_{AOB}=\frac{a^3+3}{3a^2}\cdot (-2a^3-6)$$

Далее:

$$S_{AOB}=\frac{-2a^6-6a^3-18}{3a^2}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{a^6+6a^3+9}{a^2}$$

И, наконец:

$$S_{AOB}=-\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{a^3+3}{a^2}\right)}^2$$

Аналогично для второй касательной:

$$S_{COD}=-\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{b^3+3}{b^2}\right)}^2$$

8. Система уравнений

По условию задачи нам нужно решить систему:

$$\{\begin{array}{l}3a^2=3b^2\\ -\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \frac{(a^3+3{)}^2}{a^2}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{(b^3+3{)}^2}{b^2}\end{array}$$

Решим её поэтапно:

• Из первого уравнения:

$$3a^2=3b^2\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=\pm b$$

• Подставим $a=-b$ в второе уравнение:

$$-\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \frac{(a^3+3{)}^2}{a^2}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{(b^3+3{)}^2}{b^2}$$

Получим:

$$\frac{4(a^3+3{)}^2}{a^2}=\frac{(b^3+3{)}^2}{b^2}$$

Подставляем $a=-b$:

$$4((-b{)}^3+3{)}^2=\frac{(b^3+3{)}^2}{b^2}$$

Раскрываем:

$$4(3-b^3{)}^2=\frac{(b^3+3{)}^2}{b^2}$$

Получаем:

$$36-24b^3+4b^6=b^6+6b^3+9$$

Переносим все в одну сторону:

$$3b^6-30b^3+27=0$$$$b^6-10b^3+9=0$$

Решим это уравнение через подстановку $y=b^3$:

$$y^2-10y+9=0$$

Находим дискриминант:

$$D={10}^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64$$

Решаем квадратное уравнение:

$$y_1=\frac{10-8}{2}=1\text{и}{y}_2=\frac{10+8}{2}=9$$

Отсюда:

$$b_1=\sqrt[3]{1}=1\text{и}{b}_2=\sqrt[3]{9}$$

Тогда:

$$a_1=-1\text{и}{a}_2=-\sqrt[3]{9}$$

9. Площадь треугольника $AOB$

Для $a_1=-1$:

$$S_{AOB}=-\frac{2}{3}\cdot {((-1{)}^3+3)}^2\cdot \frac{1}{(-1{)}^2}=-\frac{2}{3}\cdot 2^2=\frac{8}{3}$$

Для $a_2=-\sqrt[3]{9}$:

$$S_{AOB}=-\frac{2}{3}\cdot {({(-\sqrt[3]{9})}^3+3)}^2\cdot \frac{1}{{(-\sqrt[3]{9})}^2}=\frac{8}{\sqrt[3]{3}}$$

10. Ответ

Таким образом, площадь треугольников, отсекаемых касательными, равна:

1. $$\boxed{{\displaystyle \frac{8}{3}}}$$
2. $$\boxed{{\displaystyle }}$$$$\frac{8}{\sqrt[3]{3}}$$