ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 897 Алимов — Подробные Ответы

Найти общие касательные к графикам функций f (х) = х2 — 4х + 3 и g (х) = -х2 + 6х — 10.

$f(x) = x^2 — 4x + 3$ и $g(x) = -x^2 + 6x — 10$;

Угловые коэффициенты касательных:

$$g'(x) = -(x^2)’ + (6x — 10)’ = -2x + 6;$$

Уравнение касательной первой функции:

$$f'(a) = (x^2)’ — (4x — 3)’ = 2x — 4 = 2a — 4;$$ $$f(a) = a^2 — 4a + 3;$$ $$y = a^2 — 4a + 3 + (2a — 4)(x — a);$$ $$y = a^2 — 4a + 3 + 2ax — 2a^2 — 4x + 4a;$$ $$y = -a^2 + 2ax — 4x + 3;$$ $$y = (2a — 4)x + (3 — a^2);$$

Уравнение касательной второй функции:

$$g'(b) = -(x^2)’ + (6x — 10)’ = -2x + 6 = 6 — 2b;$$ $$g(b) = 6b — b^2 — 10;$$ $$y = 6b — b^2 — 10 + (6 — 2b)(x — b);$$ $$y = 6b — b^2 — 10 + 6x — 6b — 2bx + 2b^2;$$ $$y = b^2 — 2bx + 6x — 10;$$ $$y = (6 — 2b)x + (b^2 — 10);$$

Касательные совпадают при:

$$\begin{cases} 2a — 4 = 6 — 2b \\ 3 — a^2 = b^2 — 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a + 2b = 10 \\ b^2 + a^2 — 13 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 5 — b \\ b^2 + a^2 — 13 = 0 \end{cases};$$ $$b^2 + (5 — b)^2 — 13 = 0;$$ $$b^2 + 25 — 10b + b^2 — 13 = 0;$$ $$2b^2 — 10b + 12 = 0;$$ $$b^2 — 5b + 6 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$b_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$ $$a_1 = 5 — 2 = 3 \quad \text{и} \quad a_2 = 5 — 3 = 2;$$

Уравнения общих касательных:

$$y = (2 \cdot 3 — 4)x + (3 — 3^2) = (6 — 4)x + (3 — 9) = 2x — 6;$$ $$y = (2 \cdot 2 — 4)x + (3 — 2^2) = (4 — 4)x + (3 — 4) = -1;$$

Ответ: $y = 2x — 6$ и $y = -1$.

Заданы две функции:

$$f(x) = x^2 — 4x + 3 \quad \text{и} \quad g(x) = -x^2 + 6x — 10.$$

Наша задача — найти уравнения касательных, общих для этих двух функций. Для этого мы будем вычислять производные функций, находить уравнения касательных в точках, где касательные имеют одинаковые угловые коэффициенты, и решать систему уравнений для этих точек.

Шаг 1. Находим производные функций

Начнем с того, что находим производные обеих функций.

Для функции $f(x) = x^2 — 4x + 3$:

Производная $f'(x)$ вычисляется по стандартным правилам дифференцирования:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(3) = 2x — 4.$$

Для функции $g(x) = -x^2 + 6x — 10$:

Производная $g'(x)$:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2) + \frac{d}{dx}(6x) — \frac{d}{dx}(10) = -2x + 6.$$

Таким образом, угловые коэффициенты касательных для функции $f(x)$ и функции $g(x)$ выражаются через производные:

$$f'(x) = 2x — 4 \quad \text{и} \quad g'(x) = -2x + 6.$$

Шаг 2. Уравнения касательных

Теперь находим уравнения касательных в точках $a$ и $b$, где касательные к функциям имеют одинаковые угловые коэффициенты.

Уравнение касательной для $f(x)$ в точке $a$:

Касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x = a$ имеет уравнение:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a),$$

где $f(a)$ — значение функции в точке $a$, а $f'(a)$ — угловой коэффициент касательной.

• Находим значение функции $f(a)$:

$$f(a) = a^2 — 4a + 3.$$

• Находим угловой коэффициент касательной $f'(a)$:

$$f'(a) = 2a — 4.$$

Таким образом, уравнение касательной к функции $f(x)$ в точке $a$ будет:

$$y = a^2 — 4a + 3 + (2a — 4)(x — a).$$

Теперь раскроем скобки:

$$y = a^2 — 4a + 3 + 2a x — 2a^2 — 4x + 4a.$$

Сгруппируем подобные члены:

$$y = -a^2 + 2a x — 4x + 3.$$

Окончательно:

$$y = (2a — 4)x + (3 — a^2).$$

Уравнение касательной для $g(x)$ в точке $b$:

Аналогично, касательная к графику функции $g(x)$ в точке $x = b$ имеет уравнение:

$$y = g(b) + g'(b)(x — b),$$

где $g(b)$ — значение функции $g(x)$ в точке $b$, а $g'(b)$ — угловой коэффициент касательной.

• Находим значение функции $g(b)$:

$$g(b) = -b^2 + 6b — 10.$$

• Находим угловой коэффициент касательной $g'(b)$:

$$g'(b) = -2b + 6.$$

Таким образом, уравнение касательной к функции $g(x)$ в точке $b$ будет:

$$y = -b^2 + 6b — 10 + (-2b + 6)(x — b).$$

Раскроем скобки:

$$y = -b^2 + 6b — 10 — 2b x + 2b^2 + 6x — 6b.$$

Сгруппируем подобные члены:

$$y = b^2 — 2b x + 6x — 10.$$

Окончательно:

$$y = (6 — 2b)x + (b^2 — 10).$$

Шаг 3. Условия совпадения касательных

Для того чтобы касательные к обеим функциям совпали, их угловые коэффициенты и свободные члены должны быть равны. То есть, нужно решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 2a — 4 = 6 — 2b \\ 3 — a^2 = b^2 — 10 \end{cases}$$

Уравнение 1: $2a — 4 = 6 — 2b$

Перепишем это уравнение:

$$2a + 2b = 10.$$

Разделим на 2:

$$a + b = 5.$$

Уравнение 2: $3 — a^2 = b^2 — 10$

Перепишем это уравнение:

$$a^2 + b^2 = 13.$$

Шаг 4. Решаем систему уравнений

Теперь решаем систему уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases}$$

• Из первого уравнения выразим $a$ через $b$:

$$a = 5 — b.$$

• Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(5 — b)^2 + b^2 = 13.$$

Раскроем скобки:

$$25 — 10b + b^2 + b^2 = 13,$$ $$2b^2 — 10b + 25 = 13,$$ $$2b^2 — 10b + 12 = 0.$$

Разделим на 2:

$$b^2 — 5b + 6 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1.$$

Найдем корни:

$$b_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2} = \frac{5 — 1}{2} = 2,$$ $$b_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3.$$

Значит, возможные значения для $b$ — это $b_1 = 2$ и $b_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения для $a$:

$$a_1 = 5 — b_1 = 5 — 2 = 3, \quad a_2 = 5 — b_2 = 5 — 3 = 2.$$

Шаг 5. Уравнения общих касательных

Теперь находим уравнения общих касательных для найденных значений $a$ и $b$.

• Для $a_1 = 3$ и $b_1 = 2$:

Уравнение касательной:

$$y = (2 \cdot 3 — 4)x + (3 — 3^2) = (6 — 4)x + (3 — 9) = 2x — 6.$$

• Для $a_2 = 2$ и $b_2 = 3$:

Уравнение касательной:

$$y = (2 \cdot 2 — 4)x + (3 — 2^2) = (4 — 4)x + (3 — 4) = -1.$$

Ответ:

Таким образом, уравнения общих касательных:

$$y = 2x — 6 \quad \text{и} \quad y = -1.$$