ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 896 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях параметра а прямая у = ах — 2 касается графика функции у = 1 + ln х.

Прямая $y = ax — 2$ касается графика функции $f(x) = 1 + \ln x$.

Уравнение касательной:

$f'(x_0) = (1)’ + (\ln x)’ = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x_0};$
$f(x_0) = 1 + \ln x_0;$
$y = 1 + \ln x_0 + \frac{1}{x_0} \cdot (x — x_0) = 1 + \ln x_0 + \frac{x}{x_0} — 1 = \frac{x}{x_0} + \ln x_0;$

Значения параметра $x_0$:

$\ln x_0 = -2;$
$\ln x_0 = \ln e^{-2}, \text{отсюда } x_0 = \frac{1}{e^2};$

Значение параметра $a$:

$a = \frac{1}{x_0} = 1 : \frac{1}{e^2} = e^2;$

Ответ: $a = e^2$.

Прямая $y = ax — 2$ касается графика функции $f(x) = 1 + \ln x$. Необходимо найти значение параметра $a$, при котором эта прямая будет касаться графика функции.

Шаг 1: Найдем производную функции

Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно найти производную функции $f(x) = 1 + \ln x$. Для этого будем использовать стандартные правила дифференцирования.

Функция $f(x) = 1 + \ln x$ состоит из двух частей:

1. Производная от $1$ равна нулю, так как производная от константы равна нулю.
2. Производная от $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$, так как производная от натурального логарифма — это $\frac{1}{x}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Найдем уравнение касательной

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$, нужно использовать следующее общее уравнение касательной:

$$y — f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Где:

• $f'(x_0)$ — это производная функции в точке касания.
• $f(x_0)$ — это значение функции в точке касания.
• $(x_0, f(x_0))$ — это координаты точки касания.

Для функции $f(x) = 1 + \ln x$, мы знаем, что:

$$f'(x_0) = \frac{1}{x_0}$$ $$f(x_0) = 1 + \ln x_0$$

Теперь подставим эти значения в уравнение касательной:

$$y — (1 + \ln x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot (x — x_0)$$

Упростим уравнение:

$$y = 1 + \ln x_0 + \frac{1}{x_0} \cdot (x — x_0)$$ $$y = 1 + \ln x_0 + \frac{x}{x_0} — \frac{x_0}{x_0}$$ $$y = \frac{x}{x_0} + \ln x_0$$

Таким образом, уравнение касательной будет:

$$y = \frac{x}{x_0} + \ln x_0$$

Шаг 3: Используем условие касания с прямой

Теперь нам нужно воспользоваться условием, что прямая $y = ax — 2$ касается графика функции $f(x) = 1 + \ln x$. То есть, прямая должна совпасть с касательной в точке касания, и их уравнения должны быть одинаковыми.

Уравнение прямой $y = ax — 2$ имеет угловой коэффициент $a$, и её уравнение можно переписать как:

$$y = ax — 2$$

Мы знаем, что касательная и прямая должны иметь одинаковые угловые коэффициенты. Следовательно, угловой коэффициент касательной $\frac{1}{x_0}$ должен быть равен угловому коэффициенту прямой $a$:

$$a = \frac{1}{x_0}$$

Также, поскольку касательная проходит через точку касания $x_0$, подставим $x_0$ в уравнение касательной, чтобы получить значение $y_0$:

$$y_0 = \frac{x_0}{x_0} + \ln x_0 = 1 + \ln x_0$$

Теперь подставим $x_0$ в уравнение прямой $y = ax — 2$, чтобы проверить, что обе прямые совпадают в точке касания. Для этого подставим $x_0$ в уравнение прямой:

$$y_0 = a \cdot x_0 — 2$$ $$1 + \ln x_0 = a \cdot x_0 — 2$$

Теперь подставим $a = \frac{1}{x_0}$ в это уравнение:

$$1 + \ln x_0 = \frac{1}{x_0} \cdot x_0 — 2$$ $$1 + \ln x_0 = 1 — 2$$ $$1 + \ln x_0 = -1$$ $$\ln x_0 = -2$$

Шаг 4: Находим значение $x_0$

Решаем уравнение $\ln x_0 = -2$. Для этого возведем обе части в степень $e$:

$$x_0 = e^{-2}$$

Таким образом, точка касания имеет абсциссу $x_0 = \frac{1}{e^2}$.

Шаг 5: Находим значение параметра $a$

Мы знаем, что $a = \frac{1}{x_0}$, поэтому подставим значение $x_0 = \frac{1}{e^2}$:

$$a = \frac{1}{\frac{1}{e^2}} = e^2$$

Ответ: $a = \boxed{e^2}$.