ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 895 Алимов — Подробные Ответы

Найти расстояние от начала координат до той касательной к графику функции у = х ln х, которая параллельна оси абсцисс.

$f(x) = x \cdot \ln x;$

Угловой коэффициент касательной:

$f'(x) = (x)’ \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1;$

Точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс:

$\ln x + 1 = 0;$
$\ln x = -1;$
$\ln x = \ln e^{-1}, \text{отсюда } x = \frac{1}{e};$

Расстояние от касательной до начала координат:

$s = \sqrt{0^2 + \left( \frac{1}{e} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{1}{e} \right)^2} = \frac{1}{e};$

Ответ: $\frac{1}{e}$.

Дана функция $f(x) = x \cdot \ln x$, и требуется найти:

1. Угловой коэффициент касательной.
2. Точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс.
3. Расстояние от касательной до начала координат.

Шаг 1: Находим производную функции

Для того чтобы найти уравнение касательной, нам нужно вычислить производную функции $f(x) = x \cdot \ln x$. Для этого используем правило дифференцирования произведения функций. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln x$. Тогда производная от произведения $u(x) \cdot v(x)$ по правилу произведения:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Производная от $u(x) = x$ по $x$:

$$u'(x) = 1$$

Производная от $v(x) = \ln x$ по $x$:

$$v'(x) = \frac{1}{x}$$

Теперь подставим эти производные в формулу для производной произведения:

$$f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = \ln x + 1$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \ln x + 1$$

Шаг 2: Найдем точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс

Касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен 0. Угловой коэффициент касательной — это значение производной в точке касания. Таким образом, чтобы найти точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, приравняем производную к 0:

$$f'(x) = \ln x + 1 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$\ln x = -1$$

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

$$x = e^{-1}$$

Итак, точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс, имеет абсциссу $x = \frac{1}{e}$.

Шаг 3: Находим расстояние от касательной до начала координат

Теперь, зная точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс, вычислим расстояние от этой точки до начала координат. Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид:

$$y — f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Однако, поскольку касательная параллельна оси абсцисс, ее уравнение можно записать в более простом виде:

$$y = f(x_0)$$

Значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = \frac{1}{e}$ можно найти, подставив $x = \frac{1}{e}$ в исходное уравнение функции $f(x) = x \cdot \ln x$:

$$f\left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{e} \cdot \ln \frac{1}{e}$$

Так как $\ln \frac{1}{e} = -1$, получаем:

$$f\left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$$

Таким образом, касательная имеет уравнение:

$$y = -\frac{1}{e}$$

Теперь, чтобы найти расстояние от касательной до начала координат, используем формулу для расстояния от точки до прямой. Прямая имеет уравнение $y = -\frac{1}{e}$, и нам нужно найти расстояние от начала координат $(0, 0)$ до этой прямой. Формула для расстояния от точки $(x_1, y_1)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ имеет вид:

$$s = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

В нашем случае прямая $y = -\frac{1}{e}$ может быть переписана как:

$$0 \cdot x + 1 \cdot y + \frac{1}{e} = 0$$

Тогда расстояние от точки $(0, 0)$ до этой прямой:

$$s = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + \frac{1}{e}|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{\left| \frac{1}{e} \right|}{1} = \frac{1}{e}$$

Ответ:

Расстояние от касательной до начала координат равно $\boxed{\frac{1}{e}}$.