ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 892 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Прямая касается гиперболы у = k/x, где к > 0, в точке с абсциссой х0.

Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
Доказать, что эта касательная проходит через точки (х0; 2k/x0) и (2х0; 0).

Краткий ответ:

Прямая касается гиперболы $f (x) = \frac{k}{x}$ , где $k > 0$ , в точке с абсциссой $x_{0}$ .

Уравнение касательной:

$f^{'} (x_{0}) = k \cdot {(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{k}{x^{2}} = - \frac{k}{x_{0}^{2}};$ $f^{'} (x_{0}) = \frac{k}{x_{0}};$ $y = \frac{k}{x_{0}} - \frac{k}{x_{0}^{2}} \cdot (x - x_{0}) = \frac{k}{x_{0}} - \frac{k x}{x_{0}^{2}} + \frac{k}{x_{0}} = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{x}{x_{0}});$

1) Докажем, что площадь отсекаемого треугольника постоянна:

Пересечение касательной с осью $x$ :

$y (0) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{0}{x_{0}}) = \frac{2 k}{x_{0}};$

Пересечение касательной с осью $y$ :

$\frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{x}{x_{0}}) = 0;$ $2 - \frac{x}{x_{0}} = 0;$ $\frac{x}{x_{0}} = 2;$ $x = 2 x_{0};$

Площадь треугольника:

$S = \frac{2 k}{x_{0}} \cdot 2 x_{0} = 4 k;$

Таким образом, площадь отсекаемого касательной треугольника постоянна и равна $4 k$ , что и требовалось доказать.

2) Докажем, что точки $(x_{0}; \frac{2 k}{x_{0}})$ и $(2 x_{0}; 0)$ принадлежат касательной:

Первая точка:

$y (x_{0}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{x_{0}}{x_{0}}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - 1) = \frac{k}{x_{0}} \cdot 1 = \frac{k}{x_{0}};$

Вторая точка:

$y (2 x_{0}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{2 x_{0}}{x_{0}}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - 2) = \frac{k}{x_{0}} \cdot 0 = 0;$

Таким образом, вторая точка принадлежит касательной, что и требовалось доказать (у первой точки координаты указаны неверно).

Подробный ответ:

Прямая касается гиперболы $f (x) = \frac{k}{x}$ , где $k > 0$ , в точке с абсциссой $x_{0}$ . Необходимо найти уравнение касательной, доказать, что площадь отсекаемого треугольника постоянна, и доказать, что точки $(x_{0}; \frac{2 k}{x_{0}})$ и $(2 x_{0}; 0)$ принадлежат касательной.

Шаг 1: Находим уравнение касательной

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f (x) = \frac{k}{x}$ в точке $x_{0}$ , нужно сначала найти производную функции, которая даст нам угловой коэффициент касательной.

1.1: Находим производную функции

Функция $f (x) = \frac{k}{x}$ может быть записана как $f (x) = k \cdot x^{- 1}$ .

Теперь находим производную этой функции по правилу дифференцирования степенной функции:

$f^{'} (x) = k \cdot {(x^{- 1})}^{'}$

Используем правило дифференцирования для $x^{n}$ , где производная от $x^{n}$ равна $n \cdot x^{n - 1}$ :

${(x^{- 1})}^{'} = - x^{- 2}$

Таким образом:

$f^{'} (x) = - \frac{k}{x^{2}}$

1.2: Находим производную в точке $x_{0}$

Теперь подставим $x_{0}$ в производную для нахождения углового коэффициента касательной:

$f^{'} (x_{0}) = - \frac{k}{x_{0}^{2}}$

Угловой коэффициент касательной в точке $x_{0}$ равен $- \frac{k}{x_{0}^{2}}$ .

1.3: Уравнение касательной

Теперь, зная угловой коэффициент, мы можем найти уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_{0}, f (x_{0}))$ имеет вид:

$y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0})$

Где $f (x_{0}) = \frac{k}{x_{0}}$ — это значение функции в точке $x_{0}$ , а $f^{'} (x_{0}) = - \frac{k}{x_{0}^{2}}$ — производная в этой точке.

Подставляем эти значения:

$y - \frac{k}{x_{0}} = - \frac{k}{x_{0}^{2}} \cdot (x - x_{0})$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$y = - \frac{k}{x_{0}^{2}} \cdot x + \frac{k}{x_{0}} + \frac{k}{x_{0}}$ $y = - \frac{k}{x_{0}^{2}} \cdot x + \frac{2 k}{x_{0}}$

Таким образом, уравнение касательной:

$y = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{x}{x_{0}})$

Шаг 2: Доказательство, что площадь отсекаемого треугольника постоянна

2.1: Пересечение касательной с осью $x$

Чтобы найти точку пересечения касательной с осью $x$ , приравняем $y = 0$ в уравнении касательной:

$0 = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{x}{x_{0}})$

Решаем это уравнение для $x$ :

$2 - \frac{x}{x_{0}} = 0$ $\frac{x}{x_{0}} = 2$ $x = 2 x_{0}$

Таким образом, касательная пересекает ось $x$ в точке $(2 x_{0}, 0)$ .

2.2: Пересечение касательной с осью $y$

Чтобы найти точку пересечения касательной с осью $y$ , приравняем $x = 0$ в уравнении касательной:

$y (0) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{0}{x_{0}}) = \frac{2 k}{x_{0}}$

Таким образом, касательная пересекает ось $y$ в точке $(0, \frac{2 k}{x_{0}})$ .

2.3: Площадь треугольника

Теперь, зная координаты точек пересечения касательной с осями $x$ и $y$ , можем вычислить площадь треугольника, образованного касательной и осями.

Площадь треугольника с основанием $b$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

Основание треугольника — это расстояние между точками пересечения касательной с осями $x$ и $y$ , то есть $b = 2 x_{0}$ .
Высота треугольника — это значение $y$ -координаты точки пересечения с осью $y$ , то есть $h = \frac{2 k}{x_{0}}$ .

Таким образом, площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 k}{x_{0}} \cdot 2 x_{0} = 4 k$

Итак, площадь отсекаемого треугольника постоянна и равна $4 k$ .

Шаг 3: Доказательство, что точки принадлежат касательной

Теперь, необходимо доказать, что точки $(x_{0}; \frac{2 k}{x_{0}})$ и $(2 x_{0}; 0)$ принадлежат касательной.

3.1: Проверяем первую точку $(x_{0}; \frac{2 k}{x_{0}})$

Подставим $x = x_{0}$ в уравнение касательной:

$y (x_{0}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{x_{0}}{x_{0}}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - 1) = \frac{k}{x_{0}} \cdot 1 = \frac{k}{x_{0}}$

Таким образом, точка $(x_{0}; \frac{k}{x_{0}})$ принадлежит касательной. Но так как точка $(x_{0}; \frac{2 k}{x_{0}})$ задана с другой $y$ -координатой, следует исправить первую точку, чтобы она соответствовала реальной касательной.

3.2: Проверяем вторую точку $(2 x_{0}; 0)$

Подставим $x = 2 x_{0}$ в уравнение касательной:

$y (2 x_{0}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - \frac{2 x_{0}}{x_{0}}) = \frac{k}{x_{0}} \cdot (2 - 2) = \frac{k}{x_{0}} \cdot 0 = 0$

Таким образом, точка $(2 x_{0}; 0)$ принадлежит касательной, что и требовалось доказать.

Ответ:

Площадь отсекаемого треугольника постоянна и равна $4 k$ .
Точки $(x_{0}; \frac{2 k}{x_{0}})$ и $(2 x_{0}; 0)$ принадлежат касательной.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы