ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 891 Алимов — Подробные Ответы

Прямая касается гиперболы у = 4/x в точке (1; 4). Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Прямая касается гиперболы $f(x) = \frac{4}{x}$ в точке $A(1; 4)$.

Уравнение касательной:

$$f'(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{4}{x^2};$$ $$f'(1) = -\frac{4}{1^2} = -4;$$ $$f(1) = \frac{4}{1} = 4;$$ $$y = 4 — 4(x — 1) = 4 — 4x + 4 = 8 — 4x;$$

Пересечение касательной с осью $x$:

$$y(0) = 8 — 4 \cdot 0 = 8 — 0 = 8;$$

Пересечение касательной с осью $y$:

$$8 — 4x = 0;$$ $$4x = 8, \text{ отсюда } x = 2;$$

Площадь отсекаемого треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot y(0) \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8;$$

Ответ: $8$.

Дано, что прямая касается гиперболы $f(x) = \frac{4}{x}$ в точке $A(1; 4)$.

Необходимо найти уравнение касательной, ее пересечение с осями и площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Шаг 1: Находим производную функции

Для того чтобы найти уравнение касательной, сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{4}{x}$, так как угловой коэффициент касательной определяется значением производной функции в точке касания.

Используем правило дифференцирования для функции вида $\frac{1}{x}$:

$$f(x) = 4x^{-1}$$

Производная от $x^{-1}$ равна $-x^{-2}$, поэтому производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 4 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{4}{x^2}$$

Шаг 2: Находим производную в точке $x = 1$

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке $A(1; 4)$, подставим $x = 1$ в производную $f'(x)$:

$$f'(1) = -\frac{4}{1^2} = -4$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной $k$ в точке $A(1; 4)$ равен $-4$.

Шаг 3: Находим значение функции в точке $A(1; 4)$

Поскольку точка касания $A(1; 4)$ лежит на графике функции $f(x)$, подставим $x = 1$ в функцию $f(x) = \frac{4}{x}$:

$$f(1) = \frac{4}{1} = 4$$

Таким образом, точка касания имеет координаты $A(1; 4)$, и $f(1) = 4$.

Шаг 4: Находим уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид:

$$y = y_0 + k(x — x_0)$$

где $y_0$ — это значение функции в точке $x_0$, а $k$ — это угловой коэффициент касательной. В нашем случае:

• $x_0 = 1$
• $y_0 = f(1) = 4$
• $k = f'(1) = -4$

Подставляем эти значения в формулу для уравнения касательной:

$$y = 4 + (-4)(x — 1)$$

Раскрываем скобки:

$$y = 4 — 4(x — 1)$$

Упростим:

$$y = 4 — 4x + 4 = 8 — 4x$$

Таким образом, уравнение касательной:

$$y = 8 — 4x$$

Шаг 5: Находим пересечение касательной с осью $x$

Для нахождения точки пересечения касательной с осью $x$, приравняем $y = 0$ в уравнении касательной и решим относительно $x$:

$$0 = 8 — 4x$$

Решаем это уравнение:

$$4x = 8$$ $$x = 2$$

Таким образом, касательная пересекает ось $x$ в точке $(2, 0)$.

Шаг 6: Находим пересечение касательной с осью $y$

Для нахождения точки пересечения касательной с осью $y$, приравняем $x = 0$ в уравнении касательной и решим относительно $y$:

$$y = 8 — 4 \cdot 0 = 8$$

Таким образом, касательная пересекает ось $y$ в точке $(0, 8)$.

Шаг 7: Находим площадь треугольника, образованного касательной и осями

Площадь треугольника, образованного касательной и осями, можно найти по формуле для площади треугольника с основанием $b$ и высотой $h$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$

В нашем случае:

• Основание треугольника — это расстояние между точками пересечения касательной с осями $x$ и $y$, то есть $b = 2$ (расстояние между точками $(2, 0)$ и $(0, 8)$).
• Высота треугольника — это значение $y$-координаты точки пересечения с осью $y$, то есть $h = 8$.

Теперь подставляем в формулу:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$$

Таким образом, площадь треугольника равна $8$.

Ответ:

Площадь отсекаемого треугольника: $\boxed{8}$.