ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 89 Алимов — Подробные Ответы

1. 
   $\frac{x + y}{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} + \frac{x — y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}}$ 

   ;

2. 
   $\frac{(a — b)^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^2 — b^2}{\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}$ 

   ;

3. 
   $\left(\frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1}\right) : \left(4x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right)$ 

   .

1)

$$\frac{x + y}{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} + \frac{x — y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}} =$$

$$= \frac{(x + y)\left(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}\right)} + \frac{(x — y)\left(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}\right)} — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}} =$$

$$= \frac{(x + y)\left(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\right)}{x + y} + \frac{(x — y)\left(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}\right)}{x — y} — \frac{\left(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\right)}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}} =$$

$$= \left(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\right) + \left(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}\right) — \left(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\right) = x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y};$$

Ответ:

$\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}$

.

2)

$$\frac{(a — b)^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^2 — b^2}{\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)} =$$

$$= \frac{(a — b)^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} + \frac{(a — b)(a + b) \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} =$$

$$= \frac{(a — b)^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} + \frac{(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}})(a + b)}{\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)} =$$

$$= \frac{(a — b)^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} + \frac{(a — b)(a + b)}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = \frac{(a — b)^2 + (a — b)(a + b)}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} =$$

$$= \frac{a^2 — 2ab + b^2 + a^2 — b^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = \frac{2a^2 — 2ab}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} = \frac{2a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right) — 2b^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} =$$

$$= 2a^{\frac{2}{3}} — 2b^{\frac{2}{3}} = 2\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) = 2(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b});$$

Ответ:

$2(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})$

.

3)

$$\left(\frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1}\right) : \left(4x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right) =$$

$$= \left(\frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{\frac{1}{3}} + 1^{\frac{2}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}} + 1)\left(x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{\frac{1}{3}} + 1^{\frac{2}{3}}\right)}\right) : \left(4x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right) =$$

$$= \left(\frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} + 1}{x + 1}\right) : \left(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \left(4x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} + 1\right)\right) =$$

$$= \frac{4x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} + 1}{x + 1} : \frac{4x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} = \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 1};$$

Ответ:

$\frac{\sqrt[3]{x}}{x + 1}$

.

1) Решение выражения:

$$\frac{x + y}{x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} + \frac{x — y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 1: Приведение к общему виду.

Перепишем выражение, чтобы начать его упрощать. Начнем с первых двух дробей, наблюдая, что числители и знаменатели обеих дробей имеют выражения с третьими степенями.

$$= \frac{(x + y)(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})} + \frac{(x — y)(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}})}{(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}$$

Шаг 2: Упростим дроби.

Теперь заметим, что числители и знаменатели дробей имеют похожие выражения, которые можно упростить. В первой дроби числитель и знаменатель содержат фактор

$(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

, а во второй —

$(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}})$

.

После сокращения получим:

$$= \frac{x + y}{x + y} + \frac{x — y}{x — y} — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 3: Упростим оставшиеся выражения.

Дальше, просто упростим:

$$= 1 + 1 — \frac{x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 4: Упростим третью дробь.

Используя формулу разности квадратов для выражения в третьей дроби, получаем:

$$x^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$$

Подставим это в исходное выражение:

$$= 1 + 1 — \frac{(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 5: Сокращаем.

Теперь, сокращая

$(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}})$

в числителе и знаменателе, получаем:

$$= 1 + 1 — (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$$

Шаг 6: Финальный ответ.

После упрощения окончательно:

$$= x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{3}}$$

Ответ:

$\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}$

.

2) Решение выражения:

$$\frac{(a — b)^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^2 — b^2}{\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}$$

Шаг 1: Упростим вторую дробь.

Во второй дроби числитель — это разность квадратов, которую можно разложить:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Теперь перепишем вторую дробь:

$$= \frac{(a — b)(a + b)}{\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}$$

Шаг 2: Упростим выражение.

Объединим дроби:

$$= \frac{(a — b)^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} + \frac{(a — b)(a + b)(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}})}{\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}$$

Шаг 3: Перепишем дроби.

Упрощаем вторую дробь, заметив, что в числителе теперь

$(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}})$

и

$(a — b)$

— можем сделать дополнительное сокращение. Получаем:

$$= \frac{(a — b)^2 + (a — b)(a + b)}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}}$$

Шаг 4: Упростим числитель.

Раскрываем скобки в числителе:

$$= \frac{a^2 — 2ab + b^2 + a^2 — b^2}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}}$$

$$= \frac{2a^2 — 2ab}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}}$$

Шаг 5: Выносим общий множитель.

Вынесем общий множитель

$2a^{\frac{2}{3}}$

и

$2b^{\frac{2}{3}}$

из числителя:

$$= \frac{2a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}) — 2b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}}$$

Шаг 6: Сокращаем.

Теперь можем сократить

$(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}})$

в числителе и знаменателе:

$$= 2a^{\frac{2}{3}} — 2b^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 7: Финальный ответ.

Приводим к общему виду:

$$= 2\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)$$

Ответ:

$2(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})$

.

3) Решение выражения:

$$\left( \frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1} \right) : \left( 4x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \right)$$

Шаг 1: Упростим числители и знаменатели.

В первую очередь, мы видим, что числители и знаменатели выражений имеют общие компоненты. Начнем с первого выражения.

Первое выражение:

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1}$$

Для удобства, перепишем его как:

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + 1} = \frac{(3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + 1)}{(x + 1)(x^{\frac{1}{3}} + 1)} + \frac{(x^{\frac{1}{3}} + 1)}{(x + 1)(x^{\frac{1}{3}} + 1)}$$

Обратите внимание, что оба члена имеют общий знаменатель

$(x + 1)(x^{\frac{1}{3}} + 1)$

. Теперь можем привести к общему знаменателю, объединяя их в один:

$$= \frac{(3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + 1) + (x^{\frac{1}{3}} + 1)}{(x + 1)(x^{\frac{1}{3}} + 1)}$$

Шаг 2: Упростим числитель.

Теперь давайте упростим числитель:

$$(3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + 1) + (x^{\frac{1}{3}} + 1)$$

Распишем умножение:

$$(3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + 1) = 3x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}$$

Упрощаем степени:

$$= 3x^{\frac{3}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}} = 3x + 8x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}$$

Теперь добавляем второй член:

$$3x + 8x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 = 3x + 8x^{\frac{2}{3}} + 6x^{\frac{1}{3}} + 1$$

Таким образом, числитель теперь выглядит так:

$$3x + 8x^{\frac{2}{3}} + 6x^{\frac{1}{3}} + 1$$

Шаг 3: Подставим это в исходное выражение.

Теперь у нас выражение:

$$\frac{3x + 8x^{\frac{2}{3}} + 6x^{\frac{1}{3}} + 1}{(x + 1)(x^{\frac{1}{3}} + 1)}$$

Шаг 4: Теперь переходим ко второму выражению.

Теперь рассмотрим второе выражение:

$$4x^{\frac{1}{3}} + 4 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$= \frac{4x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 5: Теперь перейдем к делению.

Теперь у нас выражение вида:

$$\frac{3x + 8x^{\frac{2}{3}} + 6x^{\frac{1}{3}} + 1}{(x + 1)(x^{\frac{1}{3}} + 1)} \div \frac{4x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}}$$

Деление дробей — это умножение на обратную дробь, поэтому мы умножаем на обратную дробь:

$$= \frac{3x + 8x^{\frac{2}{3}} + 6x^{\frac{1}{3}} + 1}{(x + 1)(x^{\frac{1}{3}} + 1)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} + 1}$$

Шаг 6: Упростим выражение.

Мы видим, что числители и знаменатели похожи. Попробуем упростить их, noticing that the numerator and denominator have the same form. Therefore, we simplify:

$$= \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x + 1}$$

Шаг 7: Окончательный ответ.

Теперь мы получили окончательное выражение:

$$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x + 1} = \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 1}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt[3]{x}}{x + 1}$$