ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 889 Алимов — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:

1. y=2sinx/2, x0=3пи/2;
2. y=2^-x — 2^-2x, x0=2;
3. y=(x+2)/(3-x), x0=2;
4. y=x+lnx, x0=e.

Задача 1:

$y = 2 \sin \frac{x}{2}$ и $x_0 = \frac{3\pi}{2}$;

$y'(x) = 2 \cdot \left( \sin \frac{x}{2} \right)’ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}$;

$y’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \cos \frac{3\pi}{4} = \cos \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cdot \sin \frac{3\pi}{4} = 2 \cdot \sin \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$;

$y = \sqrt{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( x — \frac{3\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} x + \sqrt{2} + \frac{3\pi \sqrt{2}}{4}$;

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2} x + \sqrt{2} + \frac{3\pi \sqrt{2}}{4}$.

Задача 2:

$y = 2^{-x} — 2^{-2x}$ и $x_0 = 2$;

$y’ = (2^{-x})’ — (2^{-2x})’ = -2^{-x} \cdot \ln 2 + 2 \cdot 2^{-2x} \cdot \ln 2 = \ln 2 \cdot (2^{1-2x} — 2^{-x})$;

$y'(2) = \ln 2 \cdot (2^{1-2 \cdot 2} — 2^{-2}) = \ln 2 \cdot (2^{-3} — 2^{-2}) = \ln 2 \cdot \left( \frac{1}{8} — \frac{1}{4} \right) = -\frac{\ln 2}{8}$;

$y(2) = 2^{-2} — 2^{-2 \cdot 2} = 2^{-2} — 2^{-4} = \frac{1}{4} — \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$;

$y = \frac{3}{16} — \frac{\ln 2}{8} \cdot (x — 2) = -\frac{\ln 2}{8} x + \frac{3}{16} + \frac{\ln 2}{4}$;

Ответ: $y = -\frac{\ln 2}{8} x + \frac{3}{16} + \frac{\ln 2}{4}$.

Задача 3:

$y = \frac{x+2}{3-x}$ и $x_0 = 2$;

$y'(x) = \frac{(x+2)’ \cdot (3-x) — (x+2) \cdot (3-x)’}{(3-x)^2}$;

$y'(x) = \frac{1 \cdot (3-x) — (x+2) \cdot (-1)}{(3-x)^2} = \frac{3-x+x+2}{(3-x)^2} = \frac{5}{(3-x)^2}$;

$y'(2) = \frac{5}{(3-2)^2} = \frac{5}{1^2} = 5$;

$y(2) = \frac{2+2}{3-2} = \frac{4}{1} = 4$;

$y = 4 + 5(x-2) = 4 + 5x — 10 = 5x — 6$;

Ответ: $y = 5x — 6$.

Задача 4:

$y = x + \ln x$ и $x_0 = e$;

$y'(x) = (x)’ + (\ln x)’ = 1 + \frac{1}{x}$;

$y'(e) = 1 + \frac{1}{e}$;

$y(e) = e + \ln e = e + 1$;

$y = e + 1 + \left( 1 + \frac{1}{e} \right) \cdot (x-e) = e + 1 + x — e + \frac{x}{e} — 1 = x + \frac{x}{e}$;

Ответ: $y = x + \frac{x}{e}$.

Задача 1:

$y = 2 \sin \frac{x}{2}$ и $x_0 = \frac{3\pi}{2}$

Шаг 1: Находим производную функции $y = 2 \sin \frac{x}{2}$

Для нахождения производной функции $y = 2 \sin \frac{x}{2}$, используем правило дифференцирования сложных функций:

$$y'(x) = 2 \cdot \left( \sin \frac{x}{2} \right)’$$

Производная от $\sin \frac{x}{2}$ по цепному правилу равна:

$$\left( \sin \frac{x}{2} \right)’ = \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Таким образом:

$$y'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Находим производную в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$

Теперь подставим $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ в полученную производную:

$$y’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \cos \frac{3\pi}{4}$$

Так как $\cos \frac{3\pi}{4} = \cos \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \frac{\pi}{4}$, то:

$$y’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$

Подставляем $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ в исходную функцию $y = 2 \sin \frac{x}{2}$:

$$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cdot \sin \frac{3\pi}{4}$$

Так как $\sin \frac{3\pi}{4} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Шаг 4: Находим уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 = \frac{3\pi}{2}$ имеет вид:

$$y = y_0 + y'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Подставляем $y_0 = \sqrt{2}$, $y'(x_0) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и $x_0 = \frac{3\pi}{2}$:

$$y = \sqrt{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( x — \frac{3\pi}{2} \right)$$

Раскрываем скобки:

$$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} x + \sqrt{2} + \frac{3\pi \sqrt{2}}{4}$$

Ответ:

$$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} x + \sqrt{2} + \frac{3\pi \sqrt{2}}{4}$$

Задача 2:

$y = 2^{-x} — 2^{-2x}$ и $x_0 = 2$

Шаг 1: Находим производную функции $y = 2^{-x} — 2^{-2x}$

Для функции $y = 2^{-x} — 2^{-2x}$ будем использовать правило дифференцирования для степенных функций с основанием 2. Производная от $2^x$ равна $2^x \cdot \ln 2$, так что:

$$y’ = (2^{-x})’ — (2^{-2x})’$$

Производная от $2^{-x}$:

$$(2^{-x})’ = -2^{-x} \cdot \ln 2$$

Производная от $2^{-2x}$:

$$(2^{-2x})’ = 2 \cdot 2^{-2x} \cdot \ln 2$$

Итак, производная:

$$y’ = -2^{-x} \cdot \ln 2 + 2 \cdot 2^{-2x} \cdot \ln 2 = \ln 2 \cdot (2^{1-2x} — 2^{-x})$$

Шаг 2: Находим производную в точке $x_0 = 2$

Подставляем $x = 2$ в производную:

$$y'(2) = \ln 2 \cdot \left( 2^{1 — 2 \cdot 2} — 2^{-2} \right)$$ $$y'(2) = \ln 2 \cdot \left( 2^{-3} — 2^{-2} \right) = \ln 2 \cdot \left( \frac{1}{8} — \frac{1}{4} \right)$$ $$y'(2) = \ln 2 \cdot \left( -\frac{1}{8} \right) = -\frac{\ln 2}{8}$$

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x_0 = 2$

Подставляем $x = 2$ в исходную функцию:

$$y(2) = 2^{-2} — 2^{-2 \cdot 2} = 2^{-2} — 2^{-4} = \frac{1}{4} — \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$$

Шаг 4: Находим уравнение касательной

Уравнение касательной будет:

$$y = y_0 + y'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Подставляем $y_0 = \frac{3}{16}$, $y'(2) = -\frac{\ln 2}{8}$, и $x_0 = 2$:

$$y = \frac{3}{16} — \frac{\ln 2}{8} \cdot (x — 2)$$

Раскрываем скобки:

$$y = -\frac{\ln 2}{8} x + \frac{3}{16} + \frac{\ln 2}{4}$$

Ответ:

$$y = -\frac{\ln 2}{8} x + \frac{3}{16} + \frac{\ln 2}{4}$$

Задача 3:

$y = \frac{x+2}{3-x}$ и $x_0 = 2$

Шаг 1: Находим производную функции $y = \frac{x+2}{3-x}$

Для нахождения производной от дроби $\frac{u(x)}{v(x)}$, используем правило производной для частного:

$$y'(x) = \frac{u'(x) v(x) — u(x) v'(x)}{v(x)^2}$$

Здесь $u(x) = x + 2$, $v(x) = 3 — x$, и их производные:

$$u'(x) = 1, \quad v'(x) = -1$$

Теперь подставляем в формулу:

$$y'(x) = \frac{1 \cdot (3 — x) — (x + 2) \cdot (-1)}{(3 — x)^2}$$ $$y'(x) = \frac{3 — x + x + 2}{(3 — x)^2} = \frac{5}{(3 — x)^2}$$

Шаг 2: Находим производную в точке $x_0 = 2$

Подставляем $x = 2$ в производную:

$$y'(2) = \frac{5}{(3 — 2)^2} = \frac{5}{1^2} = 5$$

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x_0 = 2$

Подставляем $x = 2$ в исходную функцию:

$$y(2) = \frac{2 + 2}{3 — 2} = \frac{4}{1} = 4$$

Шаг 4: Находим уравнение касательной

Уравнение касательной:

$$y = y_0 + y'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Подставляем $y_0 = 4$, $y'(2) = 5$, и $x_0 = 2$:

$$y = 4 + 5(x — 2)$$

Раскрываем скобки:

$$y = 4 + 5x — 10 = 5x — 6$$

Ответ:

$$y = 5x — 6$$

Задача 4:

$y = x + \ln x$ и $x_0 = e$

Шаг 1: Находим производную функции $y = x + \ln x$

Производная от $y = x + \ln x$:

$$y'(x) = 1 + \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Находим производную в точке $x_0 = e$

Подставляем $x = e$:

$$y'(e) = 1 + \frac{1}{e}$$

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x_0 = e$

Подставляем $x = e$:

$$y(e) = e + \ln e = e + 1$$

Шаг 4: Находим уравнение касательной

Уравнение касательной:

$$y = y_0 + y'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Подставляем $y_0 = e + 1$, $y'(e) = 1 + \frac{1}{e}$, и $x_0 = e$:

$$y = e + 1 + \left( 1 + \frac{1}{e} \right) \cdot (x — e)$$

Раскрываем скобки:

$$y = e + 1 + x — e + \frac{x}{e} — 1 = x + \frac{x}{e}$$

Ответ:

$$y = x + \frac{x}{e}$$