ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 888 Алимов — Подробные Ответы

Под каким углом пересекаются графики функций:

1. y= 2 корень x и y=2 корень (6-x);
2. y= корень (2x+1) и y=1.

Задача 1:

Уравнения кривых:
$y = 2\sqrt{x} \quad \text{и} \quad y = 2\sqrt{6 — x}$

Точка пересечения кривых:

$2\sqrt{x} = 2\sqrt{6 — x}$
$\sqrt{x} = \sqrt{6 — x}$
$x = 6 — x$
$2x = 6$
$x = 3$

Первая касательная:

$y'(x) = 2 \cdot (\sqrt{x})’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
$k = y'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$a = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$

Вторая касательная:

$y'(x) = 2 \cdot (6 — x)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot (6 — x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{6 — x}}$
$k = y'(3) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$a = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi}{6}$

Угол между касательными:

$\beta = \frac{\pi}{6} — \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Ответ:
$\boxed{\frac{\pi}{3}}$

Задача 2:

Уравнения кривых:
$y = \sqrt{2x + 1} \quad \text{и} \quad y = 1$

Точка пересечения кривых:

$\sqrt{2x + 1} = 1$
$2x + 1 = 1$
$2x = 0$
$x = 0$

Первая касательная:

$y'(x) = (2x + 1)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2x + 1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$
$k = y'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$
$a = \arctg 1 = \frac{\pi}{4}$

Вторая касательная:

$y'(x) = (1)’ = 0$
$k = y'(0) = 0$
$a = \arctg 0 = 0$

Угол между касательными:

$\beta = \frac{\pi}{4} — 0 = \frac{\pi}{4}$

Ответ:
$\boxed{\frac{\pi}{4}}$

Задача 1:

Уравнения кривых:
$y = 2\sqrt{x} \quad \text{и} \quad y = 2\sqrt{6 — x}$

Шаг 1: Находим точку пересечения кривых

Для нахождения точки пересечения кривых приравняем их правые части:

$$2\sqrt{x} = 2\sqrt{6 — x}$$

Делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{x} = \sqrt{6 — x}$$

Теперь, чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x = 6 — x$$

Переносим все $x$ на одну сторону:

$$x + x = 6$$ $$2x = 6$$

Теперь делим обе стороны на 2:

$$x = 3$$

Таким образом, точка пересечения кривых — это $x = 3$.

Шаг 2: Находим касательную к первой кривой $y = 2\sqrt{x}$

Для нахождения угла наклона касательной к кривой в точке $x = 3$, нужно найти производную функции $y = 2\sqrt{x}$. Используем правило дифференцирования для $\sqrt{x}$, которое дает $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная функции $y = 2\sqrt{x}$:

$$y'(x) = 2 \cdot (\sqrt{x})’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Теперь подставляем $x = 3$:

$$y'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной (когда $x = 3$) к первой кривой равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Чтобы найти угол наклона касательной, использует арктангенс углового коэффициента:

$$a_1 = \arctg \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

Знаем, что $\arctg \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 3: Находим касательную ко второй кривой $y = 2\sqrt{6 — x}$

Для второй кривой производную также можно найти, используя правило дифференцирования для сложных функций. Функция $y = 2\sqrt{6 — x}$ имеет вид $y = 2(6 — x)^{\frac{1}{2}}$, и ее производная будет вычисляться как:

$$y'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot (6 — x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{6 — x}}$$

Теперь подставим $x = 3$:

$$y'(3) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной к второй кривой в точке $x = 3$ равен $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдем угол наклона касательной:

$$a_2 = -\arctg \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

Знаем, что $\arctg \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$, поэтому:

$$a_2 = -\frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Находим угол между касательными

Чтобы найти угол между двумя касательными, используем формулу для угла между прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$:

$$\beta = \arctg \left( \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} \right| \right)$$

У нас уже есть угловые коэффициенты для обеих касательных:

$$k_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad k_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Подставляем их в формулу для угла:

$$\beta = \arctg \left( \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} — \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \right| \right)$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$\beta = \arctg \left( \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 — \frac{1}{3}} \right| \right)$$ $$\beta = \arctg \left( \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| \right)$$ $$\beta = \arctg \left( \left| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \right| \right)$$ $$\beta = \arctg \left( \left| \frac{3}{\sqrt{3}} \right| \right)$$ $$\beta = \arctg (\sqrt{3})$$

Знаем, что $\arctg (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{3}}$$

Задача 2:

Уравнения кривых:
$y = \sqrt{2x + 1} \quad \text{и} \quad y = 1$

Шаг 1: Находим точку пересечения кривых

Для нахождения точки пересечения приравняем правые части:

$$\sqrt{2x + 1} = 1$$

Возводим обе части в квадрат:

$$2x + 1 = 1$$

Вычитаем 1 из обеих сторон:

$$2x = 0$$

Делим обе стороны на 2:

$$x = 0$$

Таким образом, точка пересечения кривых — это $x = 0$.

Шаг 2: Находим касательную к первой кривой $y = \sqrt{2x + 1}$

Для нахождения углового коэффициента касательной, нужно найти производную от функции $y = \sqrt{2x + 1}$.

Производная от $y = (2x + 1)^{\frac{1}{2}}$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$

Теперь подставим $x = 0$:

$$y'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 1. Чтобы найти угол наклона касательной, используем арктангенс:

$$a_1 = \arctg 1 = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3: Находим касательную ко второй кривой $y = 1$

Производная от константы $y = 1$ равна 0:

$$y'(x) = 0$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной к прямой $y = 1$ равен 0. Угол наклона:

$$a_2 = \arctg 0 = 0$$

Шаг 4: Находим угол между касательными

Угол между касательными можно найти как разницу между углами наклона:

$$\beta = \frac{\pi}{4} — 0 = \frac{\pi}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4}}$$