ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 887 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых неравенство f'(х) < 0 не имеет действительных решений, если:

1. f(x) = ax7+x3-1;
2. f(x) = x5+ax3+3;
3. f(x) = (x+a) корень x;
4. f(x) = x + a/x.

Дано неравенство $f'(x) < 0$;

1. $f(x) = ax^7 + x^3 — 1$;
   $f'(x) = a \cdot (x^7)’ + (x^3)’ — (1)’$;
   $f'(x) = 7ax^6 + 3x^2 — 0 = x^2 \cdot (7ax^4 + 3)$;
   Неравенство не имеет решений при:
   $7ax^4 + 3 < 0$;
   $7ax^4 < -3$;
   $ax^4 < -\frac{3}{7}$, отсюда $x^4 < -\frac{3}{7a}$;
   Ответ: $a \geq 0$.
2. $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$;
   $f'(x) = (x^5)’ + a \cdot (x^3)’ + (3)’$;
   $f'(x) = 5x^4 + 3ax^2 + 0 = 5x^4 + 3ax^2 = x^2 \cdot (5x^2 + 3a)$;
   Неравенство не имеет решений при:
   $5x^2 + 3a < 0$;
   $5x^2 < -3a$, отсюда $x^2 < -\frac{3a}{5}$;
   Ответ: $a \geq 0$.
3. $f(x) = (x + a) \cdot \sqrt{x}$;
   $f'(x) = (x + a)’ \cdot \sqrt{x} + (x + a) \cdot (\sqrt{x})’$;
   $f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + a) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + a}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + a}{2\sqrt{x}}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x > 0$;
   Неравенство не имеет решений при:
   $3x + a < 0$;
   $3x < -a$, отсюда $x < -\frac{a}{3}$;
   Ответ: $a \geq 0$.
4. $f(x) = x + \frac{a}{x}$;
   $f'(x) = (x)’ + a \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{a}{x^2}$;
   Неравенство не имеет решений при:
   $1 — \frac{a}{x^2} < 0$;
   $x^2 — a < 0$, отсюда $x^2 < a$;
   Ответ: $a \leq 0$.

Найти условия для параметра $a$, при которых производная функции $f'(x)$ меньше нуля, т.е. $f'(x) < 0$.

1) $f(x) = ax^7 + x^3 — 1$

Шаг 1: Находим производную функции

Для функции $f(x) = ax^7 + x^3 — 1$, применим стандартные правила дифференцирования:

Производная от $ax^7$ по правилу дифференцирования степени:

$$\frac{d}{dx}(ax^7) = a \cdot 7x^6 = 7ax^6$$

Производная от $x^3$ равна:

$$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$

Производная от константы $-1$ равна 0:

$$\frac{d}{dx}(-1) = 0$$

Теперь соберем все вместе:

$$f'(x) = 7ax^6 + 3x^2$$

Шаг 2: Выражаем $f'(x)$ в удобной форме

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$f'(x) = x^2 \cdot (7ax^4 + 3)$$

Шаг 3: Решаем неравенство $f'(x) < 0$

Для того чтобы $f'(x)$ было меньше нуля, необходимо, чтобы произведение $x^2 \cdot (7ax^4 + 3)$ было отрицательным.

1. $x^2 \geq 0$ для всех $x$, кроме $x = 0$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
2. Оставляем для анализа только $7ax^4 + 3$.

Для того чтобы $f'(x)$ было меньше нуля, выражение $7ax^4 + 3$ должно быть отрицательным:

$$7ax^4 + 3 < 0$$

Решим это неравенство:

$$7ax^4 < -3$$ $$ax^4 < -\frac{3}{7}$$

Затем $x^4$ всегда неотрицательно, следовательно, для того чтобы неравенство имело решение, необходимо, чтобы $a \geq 0$.

Ответ: $a \geq 0$.

2) $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$

Шаг 1: Находим производную функции

Для функции $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$, снова применим правила дифференцирования:

Производная от $x^5$ равна:

$$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$$

Производная от $ax^3$:

$$\frac{d}{dx}(ax^3) = 3ax^2$$

Производная от $3$ равна 0:

$$\frac{d}{dx}(3) = 0$$

Теперь соберем все вместе:

$$f'(x) = 5x^4 + 3ax^2$$

Шаг 2: Выражаем $f'(x)$ в удобной форме

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$f'(x) = x^2 \cdot (5x^2 + 3a)$$

Шаг 3: Решаем неравенство $f'(x) < 0$

Для того чтобы $f'(x)$ было меньше нуля, необходимо, чтобы произведение $x^2 \cdot (5x^2 + 3a)$ было отрицательным.

1. $x^2 \geq 0$ для всех $x$, кроме $x = 0$.
2. Оставляем для анализа только $5x^2 + 3a$.

Для того чтобы $f'(x)$ было меньше нуля, $5x^2 + 3a$ должно быть отрицательным:

$$5x^2 + 3a < 0$$

Решим это неравенство:

$$5x^2 < -3a$$ $$x^2 < -\frac{3a}{5}$$

Так как $x^2 \geq 0$ для всех $x$, это неравенство будет иметь решение только в случае, если $a \geq 0$, чтобы правая часть была неотрицательной.

Ответ: $a \geq 0$.

3) $f(x) = (x + a) \cdot \sqrt{x}$

Шаг 1: Находим производную функции

Для функции $f(x) = (x + a) \cdot \sqrt{x}$, применим правило произведения:

$$f'(x) = (x + a)’ \cdot \sqrt{x} + (x + a) \cdot (\sqrt{x})’$$

Производная от $(x + a)$ равна 1:

$$(x + a)’ = 1$$

Производная от $\sqrt{x} = x^{1/2}$ по цепному правилу:

$$(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Теперь соберем все вместе:

$$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + a) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + a}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + a}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Решаем неравенство $f'(x) < 0$

Для того чтобы $f'(x)$ было меньше нуля, выражение $\frac{3x + a}{2\sqrt{x}}$ должно быть отрицательным.

Поскольку $2\sqrt{x} > 0$ при $x > 0$, нужно, чтобы числитель $3x + a$ был отрицательным:

$$3x + a < 0$$

Решим это неравенство:

$$3x < -a$$ $$x < -\frac{a}{3}$$

Однако, так как $x > 0$, это неравенство не имеет решений для $a \geq 0$.

Ответ: $a \geq 0$.

4) $f(x) = x + \frac{a}{x}$

Шаг 1: Находим производную функции

Для функции $f(x) = x + \frac{a}{x}$, применим стандартные правила дифференцирования:

Производная от $x$ равна 1:

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

Производная от $\frac{a}{x} = ax^{-1}$, используя правило для степени:

$$\frac{d}{dx}\left( \frac{a}{x} \right) = -a \cdot x^{-2} = -\frac{a}{x^2}$$

Теперь соберем все вместе:

$$f'(x) = 1 — \frac{a}{x^2}$$

Шаг 2: Решаем неравенство $f'(x) < 0$

Для того чтобы $f'(x)$ было меньше нуля, $1 — \frac{a}{x^2}$ должно быть отрицательным:

$$1 — \frac{a}{x^2} < 0$$

Переносим $\frac{a}{x^2}$ в правую часть:

$$\frac{a}{x^2} > 1$$

Умножаем обе стороны на $x^2$ (так как $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$):

$$a > x^2$$

Это неравенство будет выполняться, если $a \leq 0$, так как если $a > 0$, то $x^2$ всегда будет больше или равно нулю, и $a$ не может быть больше $x^2$ для всех $x$.

Ответ: $a \leq 0$.$a \leq 0$