ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 886 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых уравнение f'(х) = 0 не имеет действительных корней, если:

1. f(x) = ax2-1/x2;
2. f(x) = ax + 1/x;
3. f(x) = ax3+3×2+6x;
4. f(x) = x3+6×2+ax.

Дано уравнение $f'(x) = 0$;

1. $f(x) = ax^2 — \frac{1}{x^2}$;
   $f'(x) = a \cdot (x^2)’ — \left( x^{-2} \right)’ = a \cdot 2x — (-2) \cdot x^{-3} = 2 \cdot \left( ax + \frac{1}{x^3} \right);$
   Уравнение не имеет корней при:
   $ax + \frac{1}{x^3} = 0;$
   $ax^4 + 1 = 0;$
   $ax^4 = -1, \text{отсюда } x^4 = -\frac{1}{a};$
   Ответ: $a \geq 0$.
2. $f(x) = ax + \frac{1}{x}$;
   $f'(x) = a \cdot (x)’ + \left( \frac{1}{x} \right)’ = a — \frac{1}{x^2};$
   Уравнение не имеет корней при:
   $a — \frac{1}{x^2} = 0;$
   $ax^2 — 1 = 0;$
   $ax^2 = 1, \text{отсюда } x^2 = \frac{1}{a};$
   Ответ: $a \leq 0$.
3. $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x$;
   $f'(x) = a \cdot (x^3)’ + 3 \cdot (x^2)’ + (6x)’;$
   $f'(x) = a \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 6 = 3 \cdot (ax^2 + 2x + 2);$
   Уравнение не имеет корней при:
   $ax^2 + 2x + 2 = 0;$
   $D = 2^2 — 4 \cdot a \cdot 2 = 4 — 8a = 4 \cdot (1 — 2a) < 0;$
   $1 — 2a < 0;$
   $2a > 1, \text{отсюда } a > 0.5;$
   Ответ: $a > 0.5$.
4. $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax$;
   $f'(x) = (x^3)’ + 6 \cdot (x^2)’ + a \cdot (x)’;$
   $f'(x) = 3x^2 + 6 \cdot 2x + a = 3x^2 + 12x + a;$
   Уравнение не имеет корней при:
   $3x^2 + 12x + a = 0;$
   $D = 12^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 144 — 12a = 12 \cdot (12 — a) < 0;$
   $12 — a < 0, \text{отсюда } a > 12;$
   Ответ: $a > 12$.

Найти значение параметра $a$, при котором производная функции $f'(x) = 0$ не имеет корней.

1) $f(x) = ax^2 — \frac{1}{x^2}$

Шаг 1: Находим производную функции

Используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $ax^2$ по правилу $(c \cdot x^n)’ = c \cdot n \cdot x^{n-1}$:

$$\frac{d}{dx}(ax^2) = a \cdot 2x = 2ax$$

Производная от $-\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$, применяя правило дифференцирования степени:

$$\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = -(-2) \cdot x^{-3} = 2 \cdot x^{-3} = \frac{2}{x^3}$$

Итак, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = 2ax + \frac{2}{x^3}$$

Шаг 2: Находим, при каких значениях $x$ производная равна нулю

Для нахождения корней уравнения $f'(x) = 0$ при $f'(x) = 2ax + \frac{2}{x^3}$ приравниваем это выражение к нулю:

$$2ax + \frac{2}{x^3} = 0$$

Умножим обе части на $x^3$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$$2ax^4 + 2 = 0$$

Теперь, выразим $x^4$:

$$2ax^4 = -2$$ $$x^4 = -\frac{1}{a}$$

Шаг 3: Анализ условий для $a$

Мы видим, что для того, чтобы $x^4$ было положительным (что всегда выполняется для любого $x$), правая часть уравнения должна быть неотрицательной. Однако, так как $x^4 = -\frac{1}{a}$, это уравнение не имеет решения для $a < 0$.

Таким образом, чтобы уравнение $x^4 = -\frac{1}{a}$ имело решение, нужно, чтобы $a \geq 0$.

Ответ: $a \geq 0$.

2) $f(x) = ax + \frac{1}{x}$

Шаг 1: Находим производную функции

Для данной функции используем правило дифференцирования:

Производная от $ax$ равна $a$.

Производная от $\frac{1}{x}$ по правилу для функции вида $x^{-1}$ равна $-x^{-2}$:

$$f'(x) = a — \frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Находим, при каких значениях $x$ производная равна нулю

Для нахождения корней уравнения $f'(x) = 0$, приравниваем производную к нулю:

$$a — \frac{1}{x^2} = 0$$

Переносим $\frac{1}{x^2}$ в правую часть:

$$a = \frac{1}{x^2}$$

Теперь умножим обе стороны на $x^2$ для упрощения:

$$ax^2 = 1$$ $$x^2 = \frac{1}{a}$$

Шаг 3: Анализ условий для $a$

Для того чтобы уравнение $x^2 = \frac{1}{a}$ имело решение, необходимо, чтобы правая часть была положительной, то есть $a > 0$. Это условие гарантирует, что $x^2 = \frac{1}{a}$ имеет решение, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Однако, если $a \leq 0$, то уравнение не имеет решения, поскольку $x^2$ всегда положительно, а $\frac{1}{a}$ для $a \leq 0$ не может быть положительным.

Ответ: $a \leq 0$.

3) $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x$

Шаг 1: Находим производную функции

Используем стандартные правила дифференцирования:

1. Производная от $ax^3$ равна $3ax^2$.
2. Производная от $3x^2$ равна $6x$.
3. Производная от $6x$ равна $6$.

Итак, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = 3ax^2 + 6x + 6$$

Шаг 2: Находим, при каких значениях $x$ производная равна нулю

Для нахождения корней уравнения $f'(x) = 0$ приравниваем производную к нулю:

$$3ax^2 + 6x + 6 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для нахождения условий, при которых у этого уравнения нет действительных корней, используем дискриминант.

Шаг 3: Вычисляем дискриминант

Дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ равен:

$$D = B^2 — 4AC$$

Здесь $A = 3a$, $B = 6$, и $C = 6$, поэтому дискриминант будет равен:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 3a \cdot 6 = 36 — 72a$$

Шаг 4: Находим, при каких значениях $a$ дискриминант отрицателен

Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным:

$$36 — 72a < 0$$

Решаем неравенство:

$$72a > 36$$ $$a > \frac{36}{72} = 0.5$$

Ответ: $a > 0.5$.

4) $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax$

Шаг 1: Находим производную функции

Используем стандартные правила дифференцирования:

1. Производная от $x^3$ равна $3x^2$.
2. Производная от $6x^2$ равна $12x$.
3. Производная от $ax$ равна $a$.

Итак, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = 3x^2 + 12x + a$$

Шаг 2: Находим, при каких значениях $x$ производная равна нулю

Для нахождения корней уравнения $f'(x) = 0$ приравниваем производную к нулю:

$$3x^2 + 12x + a = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для нахождения условий, при которых у этого уравнения нет действительных корней, используем дискриминант.

Шаг 3: Вычисляем дискриминант

Дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ равен:

$$D = B^2 — 4AC$$

Здесь $A = 3$, $B = 12$, и $C = a$, поэтому дискриминант будет равен:

$$D = 12^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 144 — 12a$$

Шаг 4: Находим, при каких значениях $a$ дискриминант отрицателен

Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным:

$$144 — 12a < 0$$

Решаем неравенство:

$$12a > 144$$ $$a > 12$$

Ответ: $a > 12$.

Итоговые ответы:

1. $a \geq 0$
2. $a \leq 0$
3. $a > 0.5$
4. $a > 12$