ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 885 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых f'(x) < = 0 для всех действительных значений х, если f (х) = ах3 — 6х2 — х.

$f(x) = ax^3 — 6x^2 — x$;

Производная функции:
$f'(x) = a \cdot (x^3)’ — 6 \cdot (x^2)’ — (x)’;$
$f'(x) = a \cdot 3x^2 — 6 \cdot 2x — 1 = 3ax^2 — 12x — 1;$

Производная всегда больше или равна нулю при:
$3a < 0, \text{отсюда } a < 0;$
$D = 12^2 + 4 \cdot 3a = 144 + 12a = 12 \cdot (12 + a) \leq 0;$
$12 + a \leq 0;$
$a \leq -12;$

Ответ: $a \leq -12$.

Найти значение параметра $a$, при котором производная функции $f(x) = ax^3 — 6x^2 — x$ всегда больше или равна нулю.

Шаг 1: Находим производную функции

Итак, наша функция выглядит так:

$$f(x) = ax^3 — 6x^2 — x$$

Нам нужно найти её производную $f'(x)$. Для этого применим правила дифференцирования:

Производная от $ax^3$: используем стандартное правило для степени, учитывая, что перед $x^3$ стоит константа $a$. Производная от $x^3$ равна $3x^2$, а $a$ остается на месте:

$$\frac{d}{dx}(ax^3) = a \cdot 3x^2 = 3ax^2$$

Производная от $-6x^2$: по стандартному правилу для степени:

$$\frac{d}{dx}(-6x^2) = -6 \cdot 2x = -12x$$

Производная от $-x$: производная от $x$ равна 1, поэтому:

$$\frac{d}{dx}(-x) = -1$$

Теперь, соберем все эти результаты вместе:

$$f'(x) = 3ax^2 — 12x — 1$$

Это и есть производная функции $f(x)$.

Шаг 2: Найдем условия, при которых производная всегда больше или равна нулю

Нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых выражение $f'(x) = 3ax^2 — 12x — 1$ всегда будет неотрицательным для всех значений $x$.

Для этого потребуется, чтобы квадратное выражение $3ax^2 — 12x — 1$ не имело действительных корней, или если они есть, то они должны быть одинаковыми (дискриминант равен нулю). Чтобы убедиться, что выражение всегда неотрицательно, нужно исследовать дискриминант соответствующего квадратного уравнения.

Шаг 3: Вычисление дискриминанта

Для поиска дискриминанта, давайте рассмотрим квадратное уравнение:

$$3ax^2 — 12x — 1 = 0$$

Дискриминант квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

В нашем случае $A = 3a$, $B = -12$, и $C = -1$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 3a \cdot (-1)$$ $$D = 144 + 12a$$

Шаг 4: Условие для дискриминанта

Чтобы выражение $f'(x) = 3ax^2 — 12x — 1$ было всегда больше или равно нулю, нам нужно, чтобы дискриминант $D$ был меньше или равен нулю (так как если дискриминант положительный, уравнение будет иметь два различных корня, и знак функции будет меняться):

$$D \leq 0$$

Подставляем выражение для дискриминанта:

$$144 + 12a \leq 0$$

Теперь решим это неравенство:

$$12a \leq -144$$

Делим обе стороны на 12:

$$a \leq -12$$

Шаг 5: Условие для $a$

Для того чтобы производная всегда была неотрицательной, необходимо, чтобы $a \leq -12$.

Шаг 6: Проверка знака

Чтобы окончательно удостовериться, что при $a \leq -12$ производная $f'(x) = 3ax^2 — 12x — 1$ всегда больше или равна нулю, проверим, что дискриминант действительно не положителен при таких значениях $a$:

Если $a = -12$, то:

$$D = 144 + 12 \cdot (-12) = 144 — 144 = 0$$

Когда дискриминант равен нулю, это означает, что у нас есть один корень, и выражение $f'(x) = 3(-12)x^2 — 12x — 1$ всегда неотрицательно.

Если $a < -12$, дискриминант $D = 144 + 12a$ становится отрицательным, что значит, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, и функция всегда неотрицательна.

Таким образом, для того чтобы производная $f'(x) = 3ax^2 — 12x — 1$ всегда была больше или равна нулю при всех значениях $x$, необходимо, чтобы $a \leq -12$.

Ответ: $a \leq -12$.