ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 884 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения о, при которых f’ (х) > = 0 для всех действительных значений х, если f (х) = х3 + 3х2 + ах.

$f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$;

Производная функции:
$f'(x) = (x^3)’ + 3 \cdot (x^2)’ + a \cdot (x)’;$
$f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x + a = 3x^2 + 6x + a;$

Производная всегда больше или равна нулю при:
$D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 36 — 12a = 12 \cdot (3 — a) \leq 0;$
$3 — a \leq 0;$
$a \geq 3;$

Ответ: $a \geq 3$.

Найти значение параметра $a$, при котором производная функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$ всегда больше или равна нулю.

Шаг 1: Находим производную функции

Итак, наша функция выглядит следующим образом:

$$f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$$

Нам нужно найти её производную $f'(x)$. Для этого будем использовать стандартные правила дифференцирования:

1. Производная от $x^3$ — это $3x^2$, по правилу дифференцирования степени.
2. Производная от $3x^2$ — это $6x$, опять же, по стандартному правилу.
3. Производная от $ax$ — это просто $a$, так как $a$ — это константа.

Теперь, записываем производную:

$$f'(x) = (x^3)’ + 3 \cdot (x^2)’ + a \cdot (x)’$$ $$f'(x) = 3x^2 + 6x + a$$

Шаг 2: Изучаем условия, при которых производная всегда больше или равна нулю

Нам нужно найти такие значения $a$, при которых выражение $f'(x) = 3x^2 + 6x + a$ всегда неотрицательно (то есть всегда больше или равно нулю) для всех $x$.

Для того чтобы это условие выполнялось, нужно, чтобы квадратное выражение $3x^2 + 6x + a$ не имело действительных корней, а если они есть, то они должны быть одинаковыми (когда дискриминант равен нулю). Это значит, что дискриминант уравнения должен быть меньше или равен нулю.

Шаг 3: Вычисление дискриминанта

Давайте рассмотрим квадратное уравнение $3x^2 + 6x + a = 0$, для которого нам нужно найти дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

В нашем случае $A = 3$, $B = 6$, и $C = a$, поэтому дискриминант будет равен:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot a$$ $$D = 36 — 12a$$

Шаг 4: Условие для дискриминанта

Чтобы выражение $f'(x) = 3x^2 + 6x + a$ было всегда неотрицательным, нам нужно, чтобы дискриминант $D$ был меньше или равен нулю, то есть:

$$D \leq 0$$ $$36 — 12a \leq 0$$

Теперь решаем неравенство:

$$36 \leq 12a$$

Делим обе стороны на 12:

$$3 \leq a$$

Или, что то же самое:

$$a \geq 3$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, для того чтобы производная функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$ всегда была больше или равна нулю при всех $x$, необходимо, чтобы $a \geq 3$.

Ответ: $a \geq 3$.